[论文解读] Mixed powerdomains for probability and nondeterminism

Klaus Keimel, Gordon Plotkin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 38被引用 32

一句话总结

本文通过将域论凸集上的子概率测度的自由代数建模为Kegelspitzen（抽象凸集）和d- cones，引入了结合普通非确定性和概率性非确定性的混合幂域。利用Kegelspitzen和d-cones建立函数表示和谓词变换器等价性。关键贡献在于，在一致假设下，通过Kegelspitze半格同构，实现了状态变换器与谓词变换器之间的对偶性，该对偶性适用于下、上和凸幂域。

ABSTRACT

We consider mixed powerdomains combining ordinary nondeterminism and probabilistic nondeterminism. We characterise them as free algebras for suitable (in)equation-al theories; we establish functional representation theorems; and we show equivalencies between state transformers and appropriately healthy predicate transformers. The extended nonnegative reals serve as `truth-values'. As usual with powerdomains, everything comes in three flavours: lower, upper, and order-convex. The powerdomains are suitable convex sets of subprobability valuations, corresponding to resolving nondeterministic choice before probabilistic choice. Algebraically this corresponds to the probabilistic choice operator distributing over the nondeterministic choice operator. (An alternative approach to combining the two forms of nondeterminism would be to resolve probabilistic choice first, arriving at a domain-theoretic version of random sets. However, as we also show, the algebraic approach then runs into difficulties.) Rather than working directly with valuations, we take a domain-theoretic functional-analytic approach, employing domain-theoretic abstract convex sets called Kegelspitzen; these are equivalent to the abstract probabilistic algebras of Graham and Jones, but are more convenient to work with. So we define power Kegelspitzen, and consider free algebras, functional representations, and predicate transformers. To do so we make use of previous work on domain-theoretic cones (d-cones), with the bridge between the two of them being provided by a free d-cone construction on Kegelspitzen.

研究动机与目标

• 开发一个统一的域论框架，用于在计算模型中结合普通非确定性和概率性非确定性。
• 通过连续dcpos上的凸集子概率测度，将混合幂域表征为自由代数。
• 通过函数表示建立状态变换器与谓词变换器之间的对偶性。
• 将先前关于d-cones和抽象概率代数的工作扩展到处理具有自然代数律的混合非确定性。
• 为使用扩展非负实数中的真值来推理同时包含概率选择和非确定性选择的程序，提供理论基础。

提出的方法

• 作者使用Kegelspitzen作为域论抽象凸集，等价于抽象概率代数，以建模混合幂域。
• 他们从Kegelspitzen构造一个自由d-cone，以利用d-cone的先前结果，并将其扩展到基于测度的幂域。
• 混合幂域被定义为子概率测度的凸集，其中概率选择对非确定性选择具有分配性，满足方程 $x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$。
• 通过Kegelspitzen到d-cones的通用嵌入获得函数表示，从而在连续、单调、次线性和中位函数空间之间建立同构。
• 谓词变换器通过测度上积分的下确界和上确界来定义，形式为 $\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$。
• 通过Kegelspitze半格同构建立状态变换器与谓词变换器之间的对偶性，当域一致时，该对偶性适用于下、上和凸幂域。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在域论设定下代数地结合普通非确定性和概率性非确定性？
• RQ2 结合非确定性和概率性的混合幂域的函数表示是什么？
• RQ3 在混合非确定性存在的情况下，如何用状态变换器表征谓词变换器？
• RQ4 一致性在混合非确定性下的凸幂域情况下起什么作用？
• RQ5 d-cone框架能否被适配到Kegelspitzen上，以避免对测度的直接操作？

主要发现

• 混合幂域被表征为连续dcpos上的自由代数，其中概率选择对非确定性选择具有分配性，由方程 $x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$ 描述。
• 状态变换器空间 $s: P \to \mathcal{P}\mathcal{V}_{\leq 1}Q$ 与谓词变换器空间 $\mathcal{L}_{\mathrm{mon},\subseteq,\rm{med}}(\mathcal{P}\mathbb{I}^{Q}, \mathcal{P}\mathbb{I}^{P})$ 通过映射 $\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$ 建立同构。
• 该同构对下、上和凸幂域均成立，其中凸情况要求域具有一致性。
• 通过Kegelspitzen到d-cones的通用嵌入获得函数表示，从而可将锥论构造的结果转移过来。
• 谓词变换器被证明是 $\subseteq$-单调、$\subseteq$-次线性和中位的，且这些性质在同构下保持不变。
• 该框架通过使用Kegelspitzen和d-cones避免了对测度的直接操作，为混合非确定性提供了更抽象和模块化的方法。