[论文解读] Mixed State Geometric Phase from Thomas Rotations

Péter Lévay|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文建立了2×2密度矩阵的Uhlmann混合态几何相位与相对论运动学中Thomas进动之间的几何联系。结果表明，Uhlmann的纯化并行传输等价于一系列Thomas旋转的路径有序积，而这些旋转在双曲几何的Poincaré球模型中关于双曲平移保持不变。文章推导出测地三角形混合态几何相位的一般公式，以Bures保真度表示，在纯态极限下恢复了已知的立体角结果。

ABSTRACT

It is shown that Uhlmann's parallel transport of purifications along a path of mixed states represented by $2 imes 2$ density matrices is just the path ordered product of Thomas rotations. These rotations are invariant under hyperbolic translations inside the Bloch sphere that can be regarded as the Poincaré ball model of hyperbolic geometry. A general expression for the mixed state geometric phase for an {\it arbitrary} geodesic triangle in terms of the Bures fidelities is derived. The formula gives back the solid angle result well-known from studies of the pure state geometric phase. It is also shown that this mixed state anholonomy can be reinterpreted as the pure state non-Abelian anholonomy of entangled states living in a suitable restriction of the quaternionic Hopf bundle. In this picture Uhlmann's parallel transport is just Pancharatnam transport of quaternionic spinors.

研究动机与目标

• 使用相对论运动学，为2×2密度矩阵的Uhlmann混合态非阿贝尔几何相位建立几何解释。
• 证明Uhlmann对纯化的并行传输对应于由双曲几何产生的系列Thomas旋转。
• 利用Bures保真度，推导出在Bloch球中任意测地三角形的混合态几何相位的一般表达式。
• 将混合态非阿贝尔回转重新解释为纠缠两量子比特系统中四元数希尔伯特空间中的非阿贝尔几何相位。
• 更正先前研究（参考文献[10]）中关于几何相位纯态极限的错误。

提出的方法

• 使用双曲坐标参数化2×2密度矩阵，将Bloch球建模为双曲几何的Poincaré球模型。
• 将Thomas旋转定义为两个洛伦兹Boost（双曲旋转）的复合，其代表纯化的并行传输。
• 建立Thomas旋转在Poincaré模型中关于双曲平移的不变性，将其与双曲空间的等距变换联系起来。
• 利用从Uhlmann联络导出的转移矩阵Y_{st}的路径有序积，将整体几何相位表示为更细划分的极限。
• 将几何相位表示为整体矩阵迹的辐角，其可见度由该迹的模给出。
• 将纯化空间重新解释为四元数希尔伯特空间，将Uhlmann的传输识别为四元数旋矢的Pancharatnam型传输。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从相对论运动学的角度，几何地解释2×2密度矩阵的Uhlmann纯化并行传输？
• RQ2 Thomas旋转在描述量子比特系统混合态几何相位中起什么作用？
• RQ3 测地三角形的混合态几何相位在纯态极限下如何与纯态立体角公式关联？
• RQ4 混合态非阿贝尔回转能否在纠缠两量子比特系统中重新表述为非阿贝尔几何相位？
• RQ5 双曲几何及其在双曲平移下的不变性，在Uhlmann联络的背景下有何意义？

主要发现

• Thomas旋转的路径有序积完全描述了2×2密度矩阵的Uhlmann纯化并行传输。
• Thomas旋转在Poincaré球模型中关于双曲平移保持不变，将几何相位与双曲空间的等距变换联系起来。
• 推导出任意测地三角形混合态几何相位的一般公式，以Bures保真度表示，见公式(35)。
• 在纯态极限下，所推导的公式退化为已知的几何相位立体角规则。
• 几何相位的可见度由整体矩阵迹的模给出，见公式(41)。
• 混合态非阿贝尔回转可重新解释为四元数希尔伯特空间中纠缠态的非阿贝尔Pancharatnam型相位，其相位条件为⟨p|q⟩为实数且正。