[论文解读] Mixed variational approach to finding guaranteed estimates from solutions and right-hand sides of the second-order linear elliptic equations under incomplete data

Yuri Podlipenko, Yury Shestopalov|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种混合变分方法，用于在数据不完整且仅知解和噪声的有界集时，计算二阶线性椭圆方程解及其右端项的线性泛函的保证（极小极大）估计。该方法将估计问题表述为由混合变分方程控制的最优控制问题，证明了最优估计和估计误差可通过这些方程的解显式表示，并建立了Galerkin逼近的收敛性。

ABSTRACT

We investigate the problem of guaranteed estimation of values of linear continuous functionals defined on solutions to mixed variational equations generated by linear elliptic problems from indirect noisy observations of these solutions. We assume that right-hand sides of the equations, as well as the second moments of noises in observations are not known; the only available information is that they belong to given bounded sets in the appropriate functional spaces. We look for linear with respect to observations optimal estimates of solutions of aforementioned equations called minimax or guaranteed estimates. We develop constructive methods for finding these estimates and estimation errors which are expressed in terms of solutions to special mixed variational equations and prove that Galerkin approximations of the obtained variational equations converge to their exact solutions. We study also the problem of guaranteed estimation of right-hand sides of mixed variational equations.

研究动机与目标

• 在仅知解和噪声的有界集时，发展构造性方法以实现对二阶线性椭圆方程解的线性泛函的保证（极小极大）估计。
• 将现有极小极大估计理论扩展至混合变分格式，此类格式对于建模具有直接物理意义的物理量（如通量和梯度）至关重要。
• 建立所得混合变分系统的唯一可解性，并证明Galerkin逼近收敛于其精确解。
• 以混合变分方程的解为基准，推导保证估计和估计误差的显式表达式。

提出的方法

• 将估计问题表述为由混合变分方程控制的最优控制问题，其中控制变量为观测算子，状态变量为变分系统的解。
• 引入一种混合变分格式，可同时确定解和辅助变量（如通量或梯度），这些变量具有物理意义且对估计至关重要。
• 通过鞍点问题推导最优性的必要与充分条件，得到在标准inf-sup条件下具有唯一解的混合变分方程系统。
• 应用Galerkin方法构造混合变分方程的近似解，并证明其在适当范数下收敛于精确解。
• 利用Riesz表示定理和对偶理论，将估计和误差表示为对偶混合变分问题解的形式。
• 建立极小极大估计问题与观测空间上约束优化问题之间的等价性，从而可通过有限元方法实现数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅知解和噪声的有界集时，如何计算二阶线性椭圆方程解的线性泛函的保证估计？
• RQ2 在数据不完整的情况下，能否利用混合变分格式推导出保证估计和估计误差的显式表达式？
• RQ3 用于控制估计过程的混合变分方程的Galerkin逼近的收敛行为如何？
• RQ4 如何利用相同的变分框架对椭圆方程未知右端项的估计进行建模与求解？
• RQ5 极小极大估计问题与由混合变分方程控制的最优控制问题之间存在何种关系？

主要发现

• 基于解的线性泛函的保证估计可显式表示为一组混合变分方程解的形式，这些方程在标准inf-sup条件下具有唯一解。
• 估计误差由一个对偶混合变分问题的解的范数给出，从而提供了最坏情况均方误差的可计算上界。
• 混合变分方程的Galerkin逼近在能量范数下收敛于精确解，确保了数值可靠性。
• 从解中获得的极小极大估计等价于求解一个由混合变分系统控制的最优控制问题，其代价函数包含噪声和数据协方差结构。
• 对于积分型观测算子，极小极大估计呈现为观测值的线性泛函形式，其系数由对偶混合变分问题的解确定。
• 该理论通过将框架推广至混合变分格式，推广了Nakonechny的先前结果，从而实现了对具有物理意义的通量、梯度和源项的估计。