[论文解读] Mixed Virtual Element Methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 48被引用 23

一句话总结

本文提出一种用于在多边形网格上求解具有变系数的一般二阶椭圆问题的混合虚拟元方法（Mixed Virtual Element Method, VEM），通过系统性地使用 $ L^2 $-投影算子来处理非恒定系数。该方法实现了最优收敛率，并在扭曲及多边形网格（包括Voronoi网格和非凸单元）上表现出稳健性能。

ABSTRACT

In the present paper we introduce a Virtual Element Method (VEM) for the approximate solution of general linear second order elliptic problems in mixed form, allowing for variable coefficients. We derive a theoretical convergence analysis of the method and develop a set of numerical tests on a benchmark problem with known solution.

研究动机与目标

• 解决使用多边形网格求解具有变系数的一般二阶椭圆问题的挑战，相较于传统三角剖分更具灵活性。
• 提出一种混合虚拟元方法，即使在系数非恒定时仍能保持最优收敛率。
• 确保在高度扭曲的多边形单元（包括非凸和Voronoi型网格）上保持稳定性和准确性。
• 提供理论收敛性分析，并在具有已知解的基准问题上进行数值验证。
• 通过在多种网格类型（包括凹形和质心Voronoi镶嵌）上测试，证明该方法的鲁棒性。

提出的方法

• 采用包含通量和压力变量的弱形式来表述混合问题，双线性形式在多边形单元上定义。
• 通过将投影算子作用于多项式空间来稳定方法，并处理虚拟元空间中非显式形状函数的问题。
• 仅使用边界自由度定义稳定项，省略内部自由度的稳定化，以降低计算成本。
• 通过局部投影和与单元边界及矩相关的自由度构造离散变分格式。
• 使用 $ \mathbb{P}_k^2 $ 上的数值通量 $ L^2 $-投影进行误差评估，因为精确通量在单元内部不可计算。
• 通过基于投影的稳定化方法，系统性地在多边形网格上实现变系数扩散算子的处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合虚拟元方法是否能在一般多边形网格上对具有变系数的二阶椭圆问题实现最优收敛？
• RQ2 该方法在高度扭曲或非凸多边形单元（包括Voronoi和质心Voronoi镶嵌）上的表现如何？
• RQ3 当系数在空间上变化时，$ L^2 $-投影算子在保持最优收敛中的作用是什么？
• RQ4 离散解与其 $ L^2 $-投影之间是否存在超收敛现象？这对整体误差行为有何影响？
• RQ5 不同类型的网格（结构化、随机和凹形）如何影响混合VEM的收敛速率？

主要发现

• 混合虚拟元方法在压力的 $ L^2 $-范数中实现了 $ k+1 $ 阶的最优收敛率，在通量的 $ L^2 $-范数中也实现了 $ k+1 $ 阶收敛率，与理论预期一致。
• 对于 $ k=1 $ 情况，压力的 $ L^2 $ 误差在粗网格上表现出 $ k+2=3 $ 的斜率，这是由于 $ p_h $ 与其 $ L^2 $-投影 $ p_I $ 之间存在超收敛现象，随着网格尺寸减小，斜率过渡为 $ k+1=2 $。
• 即使在高度扭曲的网格上（包括非凸多边形和随机Voronoi镶嵌），该方法仍保持最优收敛性。
• 稳定项仅依赖于边界自由度，内部自由度无需显式稳定化，从而简化了实现过程。
• 数值结果证实，该方法在所有测试网格类型（Lloyd-0、Lloyd-100、正方形和凹形）上均表现稳健，展现出一致的收敛行为。
• 对于 $ k=4 $，误差分解中明显观察到超收敛效应，满足 $ \|p_I - p_h\|_0 \leq Ch^{k+2} = Ch^6 $，与理论预测一致。