[论文解读] Mixed volume and an extension of intersection theory of divisors

Kiumars Kaveh, Askold Khovanskiĭ|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为n维不可约代数簇X上有限维有理函数子空间引入了一种双有理不变的交积指标，将经典交点理论从完备簇推广至更一般情形。通过定义类似于凸几何中混合体积的交积指标，并将其扩展至子空间半群的格罗滕迪克群，作者建立了一个框架，该框架推广了伯恩斯坦-库尔尼连科定理，并证明了诸如霍奇型与亚历山大罗夫-芬切尔型不等式等关键不等式。

ABSTRACT

Let K(X) be the collection of all non-zero finite dimensional subspaces of rational functions on an n-dimensional irreducible variety X. For any n-tuple L_1,..., L_n in K(X), we define an intersection index [L_1,..., L_n] as the number of solutions in X of a system of equations f_1 = ... = f_n = 0 where each f_i is a generic function from the space L_i. In counting the solutions, we neglect the solutions x at which all the functions in some space L_i vanish as well as the solutions at which at least one function from some subspace L_i has a pole. The collection K(X) is a commutative semigroup with respect to a natural multiplication. The intersection index [L_1,..., L_n] can be extended to the Grothendieck group of K(X). This gives an extension of the intersection theory of divisors. The extended theory is applicable even to non-complete varieties. We show that this intersection index enjoys all the main properties of the mixed volume of convex bodies. Our paper is inspired by the Bernstein-Kushnirenko theorem from the Newton polytope theory.

研究动机与目标

• 将伯恩斯坦-库尔尼连科定理从 тори 代数簇推广至任意不可约代数簇。
• 为代数簇X上有限维有理函数子空间定义一个双有理不变的交积指标。
• 将该交积指标扩展至有理函数子空间半群的格罗滕迪克群。
• 在代数几何中建立混合体积性质的类比，如多重线性、对称性以及亚历山大罗夫-芬切尔不等式。
• 将该理论与卡蒂埃除子联系起来，并证明在正规射影簇上，特定子空间的格罗滕迪克群同构于X上的卡蒂埃除子群。

提出的方法

• 将交积指标$[L_1, \ldots, L_n]$定义为一般截面$f_i \in L_i$的公共零点个数，排除所有$f_i$同时为零或任一$f_i$有极点的点。
• 在非零有限维有理函数子空间集合$\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$上，通过函数的逐点乘法赋予其一个交换半群结构。
• 利用该指标对半群运算的多重线性性，将其扩展至$\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$的格罗滕迪克群。
• 使用柯达伊映射$\Phi_L: X \dashrightarrow \mathbb{P}(L^*)$将子空间与有理映射关联，并识别出具有正规柯达伊映射的子半群$\mathbf{K}_{\text{Cart}}(X)$。
• 应用霍奇理论与涉及解析曲面解析形式的积分公式，推导出不等式，包括曲面上的霍奇型不等式。
• 通过将问题约化至簇的解析模型上的霍奇指标定理，证明交积指标的亚历山大罗夫-芬切尔不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦-库尔尼连科定理是否可从 тори 代数簇推广至任意不可约代数簇？
• RQ2 如何为有理函数子空间定义一个在双有理等价下不变的交积指标？
• RQ3 该交积指标背后的代数结构（如格罗滕迪克群）是什么？它与经典除子理论有何关联？
• RQ4 交积指标是否满足类似于混合体积理论中的不等式，如亚历山大罗夫-芬切尔不等式？
• RQ5 是否存在有理函数子空间（其柯达伊映射为正规）与射影簇上卡蒂埃除子之间的自然对应关系？

主要发现

• 交积指标$[L_1, \ldots, L_n]$定义良好，具有双有理不变性，并可线性扩展至$\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$的格罗滕迪克群。
• 在正规射影簇上，具有正规柯达伊映射的子半群$\mathbf{K}_{\text{Cart}}(X)$的格罗滕迪克群自然同构于X上的卡蒂埃除子群。
• 交积指标满足霍奇型不等式：对曲面有$[L_1, L_2]^2 \geq [L_1, L_1][L_2, L_2]$。
• 通过簇的解析模型上的霍奇理论，证明了交积指标满足亚历山大罗夫-芬切尔不等式。
• 该理论将凸体的混合体积推广至代数几何，其中交积指标模仿了混合体积的性质。
• 交积指标的积分公式涉及射影空间上Kähler形式的拉回，将代数几何与微分几何联系起来。