[论文解读] Mixed volume preserving curvature flows in hyperbolic space

Matthias Makowski|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 10

一句话总结

本论文研究了在双曲空间中保持混合体积不变的曲率流，通过结合一个曲率函数 $F$（单调、1次齐次，且为凸或凹/逆凸）与一个体积保持项实现。对于严格 $h$-凸的初始超曲面，该流在所有时间 $t \in [0, \infty)$ 内存在，并以 $C^\infty$ 拓扑指数收敛于与初始数据具有相同混合体积的测地球面。

ABSTRACT

We consider curvature flows in hyperbolic space with a monotone, symmetric, homogeneous of degree 1 curvature function F. Furthermore we assume F to be either concave and inverse concave or convex. For compact initial hypersurfaces, which are strictly convex by horospheres, we show the long time existence of mixed volume preserving curvature flows. Furthermore we show that these flows converge exponentially in the C-infinity topology to a geodesic sphere.

研究动机与目标

• 建立在双曲空间中保持混合体积的曲率流的长时间存在性与收敛性。
• 将体积保持曲率流理论从欧几里得空间推广至双曲空间，考虑曲率效应的影响。
• 证明严格 $h$-凸超曲面在该类流作用下演化为与初始混合体积相同的测地球面。
• 利用该流作为工具，推导双曲空间中的新体积不等式。
• 将欧几里得曲率流的结果推广至非恒定曲率的双曲空间设定。

提出的方法

• 流由 $\dot{x} = (f - F)\nu$ 定义，其中 $F$ 为曲率函数，$f$ 为基于混合体积构造的体积保持校正项。
• 体积保持项 $f_k$ 通过曲率函数的积分与初等对称多项式 $H_k$ 的组合构造，以保持第 $k$ 个混合体积。
• 分析基于球面上的图表示，推导流作用下几何量的演化方程。
• 应用最大值原理技术，证明主曲率的夹紧估计，表明其指数改善。
• 证明依赖于构造辅助张量场 $S_{ij}$，并应用最大值原理，证明曲率差的指数衰减。
• 通过插值估计和先前工作中获得的 $C^\infty$ 收敛结果，确立收敛于测地球面。

实验结果

研究问题

• RQ1 当与混合体积保持项结合时，双曲空间中的曲率流是否在所有时间 $t \in [0, \infty)$ 内存在？
• RQ2 对于严格 $h$-凸的初始超曲面，此类流是否能以指数速度收敛于测地球面？
• RQ3 曲率函数 $F$ 如何影响非欧几里得空间中流的长期行为？
• RQ4 与欧几里得情形相比，双曲空间中修正的体积保持项 $f_k$ 发挥何种作用？
• RQ5 该流能否用于推导双曲空间中的新几何不等式？

主要发现

• 流在所有时间 $t \in [0, \infty)$ 内存在，且在整个过程中保持光滑与严格 $h$-凸性。
• 演化超曲面的主曲率满足 $\kappa_1 - a \geq \frac{1}{n}(1 - e^{-\lambda t})(H - na)$，表明其指数夹紧。
• 流以 $C^\infty$ 拓扑指数收敛于半径为 $r_0$ 的测地球面，$r_0$ 由初始混合体积 $V_{n+1-k}(M_0)$ 决定。
• 收敛性通过 $|A|^2 - \frac{H^2}{n} \leq C_0 e^{-\delta_0 t}$ 量化，曲率与梯度范数均指数衰减。
• 流保持第 $k$ 个混合体积 $V_{n+1-k}$，并由此导出一个新体积不等式：对 $h$-凸 $M_0$，有 $\frac{V_{n+1}(M_0)}{|M_0|} \leq \frac{V_{n+1}(B_{R_0})}{|B_{R_0}|}$。
• 由于双曲空间中体积保持项的结构差异，该方法无法证明所有闵可夫斯基型不等式。