[论文解读] Mixing properties and the chromatic number of Ramanujan complexes

Shai Evra, Konstantin Golubev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Graph theory and applications参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文证明了非分拆的拉马努金复形同时具备高围长和高色数，推广了关于拉马努金图的经典结果。通过利用欧对p进李群的定量（T）性质以及一个彩色混合引理，作者证明了注入半径随复形大小对数增长，而色数随素数幂 $ q $ 增加，当 $ q \to \infty $ 时可达到任意大的色数。该结果证实了存在高维复形，其在局部上类似树结构，但在着色需求上整体上极为复杂。

ABSTRACT

Ramanujan complexes are high dimensional simplical complexes generalizing Ramanujan graphs. A result of Oh on quantitative property (T) for Lie groups over local fields is used to deduce a Mixing Lemma for such complexes. As an application we prove that non-partite Ramanujan complexes have 'high girth' and high chromatic number, generalizing a well known result about Ramanujan graphs.

研究动机与目标

• 将拉马努金图的经典结果——即具有高围长和高色数——推广至高维单纯复形。
• 在拉马努金复形的背景下，定义并分析‘围长’与‘色数’，分别通过其万有覆叠的注入半径与面的顶点着色来实现。
• 通过同余子群构造显式族，证明非分拆的拉马努金复形可具有任意大的围长与任意大的色数。
• 利用源自谱性质的彩色混合引理，建立此类复形色数的定量下界。

提出的方法

• 利用 $ PGL_d(F) $ 的欧定量（T）性质，其中 $ F = \mathbb{F}_q((t)) $，推导拉马努金复形的混合引理。
• 将彩色混合引理应用于将复形的色数与万有覆叠中不同类型顶点集的相对大小关联起来。
• 通过卡特赖特-斯蒂尔格晶格的同余子群，将非分拆的拉马努金复形构造为布雷厄-蒂斯建筑的商复形。
• 将注入半径作为围长的代理，通过万有覆叠在半径 $ r $ 的球上局部单射的性质来定义。
• 利用 $ \Lambda/\Gamma $ 的凯莱复形构造，其中 $ \Gamma $ 为同余子群，从而获得具有受控谱与几何性质的有限复形。
• 通过反证法建立色数的下界：假设颜色数较少将导致单色面集合非空，与混合引理的差异界矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出同时具有高围长与高色数的拉马努金复形，从而推广拉马努金图的情形？
• RQ2 单纯复形的‘围长’在高维下的正确类比是什么？如何通过注入半径来量化？
• RQ3 拉马努金复形的色数如何与它的谱性质及其万有覆叠的结构相关联？
• RQ4 能否从p进群中的（T）性质推导出高维复形的混合引理？它如何约束顶点着色？
• RQ5 当复形大小增长时，色数的渐近行为如何，特别是当基础域大小 $ q \to \infty $ 时？

主要发现

• 非分拆拉马努金复形的注入半径满足 $ r(X_n) \geq \frac{\log_q |X_n|}{2(d-1)(d^2-1)} - \frac{1}{2} $，表明其随大小对数增长。
• 色数满足 $ \chi(X_n) \geq \frac{1}{2} \cdot q^{1/2d} $，当 $ q \to \infty $ 时趋于无穷，意味着可实现任意大的色数。
• 彩色混合引理表明，若在 $ d $-分拆覆叠中 $ d $ 个顶点集大小相对相等且互不相交，则其差异受 $ \frac{2d}{q^{1/2}} $ 限制，从而约束色数。
• 当 $ q \gg d $ 时，复形的直径至多为 $ 8d \cdot r(X_n) $，表明复形在至多常数倍直径范围内是局部二着色的。
• 此类复形的1-骨架色数有上界 $ d $，但完整复形的色数可超过 $ d $，显示出骨架与复形着色之间的非平凡差异。
• 通过卡特赖特-斯蒂尔格晶格的同余子群构造，可得到显式族的非分拆拉马努金复形，其具备所需的混合与色数性质。