[论文解读] Mixing time and cutoff for the weakly asymmetric simple exclusion process

Cyril Labbé, Hubert Lacoin|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文为长度为 $N$ 的线段上具有 $k = \alpha N$ 个粒子的弱对称简单排除过程（WASEP）建立了混合时间的精确渐近行为，根据不对称强度 $b = p - q$ 的不同，识别出两种不同 regime。当 $b \gg (\log k)/N$ 时，混合发生在宏观平衡时间 $\sim N/b$，并呈现尖锐的 cutoff 现象；当 $b \ll (\log k)/N$ 时，混合需等待局部涨落达到平衡，发生于时间 $\sim N^2 \log N$，同样具有 cutoff。该工作在两种 regime 下均确定了渐近混合时间，并对 $b \sim (\log k)/N$ 时的临界标度提出猜想。结果扩展了对称与强不对称排除过程的已有研究，揭示了弱不对称导致弛豫动力学精确转变的机制。

ABSTRACT

We consider the simple exclusion process with $k$ particles on a segment of length $N$ performing random walks with transition $p>1/2$ to the right and $q=1-p$ to the left. We focus on the case where the asymmetry in the jump rates $b=p-q>0$ vanishes in the limit when $N$ and $k$ tend to infinity, and obtain sharp asymptotics for the mixing times of this sequence of Markov chains in the two cases where the asymmetry is either much larger or much smaller than $(\log k)/N$. We show that in the former case ($b \gg (\log k)/N$), the mixing time corresponds to the time needed to reach macroscopic equilibrium, like for the strongly asymmetric (i.e.\ constant $b$) case studied in [LL18], while the latter case ($b \ll (\log k)/N$) macroscopic equilibrium is not sufficient for mixing and one must wait till local fluctuations equilibrate, similarly to what happens in the symmetric case worked out in [Lac16b]. In both cases, convergence to equilibrium is abrupt: we have a cutoff phenomenon for the total-variation distance. We present a conjecture for the remaining regime when the asymmetry is of order $(\log k) / N$.

研究动机与目标

• 确定有限线段上弱对称简单排除过程（WASEP）的总变差混合时间的精确渐近行为。
• 根据不对称参数 $b$，识别混合时间从对称型（$N^2 \log N$）向不对称型（$N/b$）转变的过渡 regime。
• 在两种 regime 下证明 cutoff 现象的存在，表明向平衡状态的收敛是突变的。
• 通过猜想标度行为，解决在 $b \sim (\log k)/N$ 时的临界 regime 下的混合时间开放问题。

提出的方法

• 分析在长度为 $N$ 的线段上具有 $k = \alpha N$ 个粒子的 WASEP，其中跳跃速率向右偏置，$p = \frac{1}{2} + \frac{b}{2}$，$q = \frac{1}{2} - \frac{b}{2}$，且当 $N \to \infty$ 时 $b \to 0$。
• 使用耦合技术和鞅方法，在两个不同 regime 下推导混合时间的下界和上界：$b \gg (\log k)/N$ 和 $b \ll (\log k)/N$。
• 应用连续时间鞅的指数矩界，以控制粒子系统涨落的尾部行为。
• 采用广义耦合论证比较路径，建立向平衡收敛的单调性。
• 利用上鞅的扩散界控制过程的漂移和二次变差。
• 通过条件期望和跳跃增量的矩界推导精确估计，证明 cutoff 现象的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N \to \infty$ 时，若不对称性 $b$ 趋近于零，WASEP 的总变差混合时间的精确渐近标度为何？
• RQ2 当 $b$ 跨过阈值 $(\log k)/N$ 时，混合时间如何在对称与不对称 regime 之间转变？
• RQ3 在 WASEP 的宏观平衡与局部平衡 regime 下，cutoff 现象是否仍然存在？
• RQ4 在 $b \sim (\log k)/N$ 的临界 regime 下，混合时间的正确标度为何？

主要发现

• 当 $b \gg (\log k)/N$ 时，混合时间渐近为 $\sim N/b$，与达到宏观平衡的时间一致，收敛通过尖锐 cutoff 实现。
• 当 $b \ll (\log k)/N$ 时，混合时间为 $\sim N^2 \log N$，对应于局部涨落达到平衡的时间，同样具有 cutoff 现象。
• 在两种 regime 下，与平稳分布的总变差距离均从 1 突然下降至 0，证实了 cutoff 现象的存在。
• 临界 regime 中 $b \sim (\log k)/N$ 的混合时间被猜想为 $N^2 \log N / \log \log N$ 阶，介于两种 regime 之间。
• 结果在所有非退化的 $b$ 标度下，于大 $N$ 极限下确定了渐近混合时间，扩展了对 SSEP 和 ASEP 的已有工作。
• 分析表明，cutoff 行为对称与不对称极限均具有鲁棒性，取决于不对称强度的相对大小。