[论文解读] Mixing time of fractional random walk on finite fields

Jimmy He, Huy Tuan Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2021

Algorithms and Data Compression参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文研究了在有限域 𝔽ₚ 上的非线性随机游走，其定义为 Xₙ₊₁ = ι(Xₙ) + εₙ₊₁，其中 ι(x) = 1/x（当 x ≠ 0 时），ι(0) = 0，且 εᵢ 为独立同分布的增量。通过与 𝔽ₚ 上的射影直线 P¹(𝔽ₚ) 上的随机游走进行比较，并利用 SL₂(𝔽ₚ) 的谱隙结果，作者证明了混合时间的阶为 Θ(log p)，展示了相较于 𝔽ₚ 上简单随机游走的指数级加速。

ABSTRACT

We study a random walk on $\mathbb{F}_p$ defined by $X_{n+1}=1/X_n+\varepsilon_{n+1}$ if $X_n eq 0$, and $X_{n+1}=\varepsilon_{n+1}$ if $X_n=0$, where $\varepsilon_{n+1}$ are independent and identically distributed. This can be seen as a non-linear analogue of the Chung--Diaconis--Graham process. We show that the mixing time is of order $\log p$, answering a question of Chatterjee and Diaconis.

研究动机与目标

• 解决 Chatterjee 和 Diaconis 提出的关于由 Xₙ₊₁ = ι(Xₙ) + εₙ₊₁ 定义的 𝔽ₚ 上非线性随机游走的混合时间问题。
• 证明该游走的混合时间在 log p 阶，提供了一个通过确定性非线性更新实现指数级加速的显式例子。
• 将 𝔽ₚ 上的动力系统与射影直线 P¹(𝔽ₚ) 上的马尔可夫链联系起来，后者是 SL₂(𝔽ₚ) 上随机游走的商空间。
• 利用 SL₂(𝔽ₚ) 的 Cayley 图已知的谱隙结果，推导出混合时间的上界。
• 通过几何与谱论证，推导出同余式 xy ≡ 1 (mod p) 在区间内解的数量的定量界。

提出的方法

• 使用 Smith [34] 的比较理论，将 𝔽ₚ 上的混合时间与商空间 P¹(𝔽ₚ) 上的混合时间关联起来。
• 将 P¹(𝔽ₚ) 上的游走建模为 SL₂(𝔽ₚ) 上具有固定生成集的随机游走的投影。
• 应用 Bourgain 和 Gamburd [6] 在 SL₂(𝔽ₚ) Cayley 图上的谱隙结果，该结果保证了恒定的谱隙。
• 利用投影链的谱隙带来的指数衰减，建立总变差距离到平稳分布的上界。
• 通过熵论证建立下界，表明当 μ 的熵有限时，nH(μ) + log 2 ≤ log p 是混合所必需的。
• 使用 Cheeger 不等式与瓶颈比分析，证明若 A ⊆ I 且 ι(A) ⊆ J，其中 I, J 为长度为 m 的区间，则 |A| ≤ (1−δ)m 对某个 δ > 0 成立，意味着 xy ≡ 1 (mod p) 的解集受限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝔽ₚ 上，由 Xₙ₊₁ = ι(Xₙ) + εₙ₊₁ 定义的分式随机游走的混合时间阶是多少？
• RQ2 与简单随机游走相比，该非线性过程的混合时间是否可以严格证明实现了指数级加速？
• RQ3 SL₂(𝔽ₚ) 上的谱隙结果在多大程度上可用于界定 P¹(𝔽ₚ) 上投影马尔可夫链的混合时间？
• RQ4 当 x ∈ I 且 y ∈ J 时，同余式 xy ≡ 1 (mod p) 在长度相等的区间 I, J 中有多少个解？
• RQ5 在增量分布的增量分布满足弱假设时，是否可以证明满足 A ⊆ I 且 ι(A) ⊆ J 的集合 A 不能过大？

主要发现

• 在 𝔽ₚ 上的分式随机游走的混合时间为 Θ(log p)，意味着收敛到均匀分布既需要也只需要 log p 阶的步数。
• 通过熵论证建立下界：当 H(μ) < ∞ 时，有 ‖Kⁿ(x,·) − π‖_TV ≥ 1 − (nH(μ) + log 2)/log p。
• 通过谱隙技术证明上界：当 p 足够大时，有 ‖Kⁿ(x,·) − π‖_TV ≤ (√p / 2) e^(-Cn)，其中 C > 0 为依赖于 μ 的常数。
• 该证明依赖于将问题转移到 P¹(𝔽ₚ) 上的随机游走，后者是 SL₂(𝔽ₚ) 上具有已知恒定谱隙的 Cayley 图的商图。
• 在 𝔽ₚ 上定义的链 Q = PᵀΠPᵀPΠ 对于大 p 具有恒定谱隙 γ > 0，意味着指数收敛。
• 作为推论，当 m ≤ p/2 时，同余式 xy ≡ 1 (mod p) 在长度为 m 的区间 I, J 中的解数至多为 (1−δ)m，其中 δ > 0 为绝对常数，且 m 足够大。