[论文解读] Mixing Time of Quantum Gibbs Sampling for Random Sparse Hamiltonians

Akshar Ramkumar, Mehdi Soleimanifar|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2024

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 1

一句话总结

该论文在任意恒定温度下，为随机稀疏哈密顿量上的量子吉布斯采样算法建立了对数多对数时间的混合时间界，通过 Lindbladian 的谱隙分析证明了其高效收敛。结果表明，该算法的运行时间随系统规模高效增长，使其在量子系统热态制备方面与经典 MCMC 方法处于同一水平。

ABSTRACT

Providing evidence that quantum computers can efficiently prepare low-energy or thermal states of physically relevant interacting quantum systems is a major challenge in quantum information science. A newly developed quantum Gibbs sampling algorithm [Chen et al., 2023] provides an efficient simulation of the detailed-balanced dissipative dynamics of non-commutative quantum systems. The running time of this algorithm depends on the mixing time of the corresponding quantum Markov chain, which has not been rigorously bounded except in the high-temperature regime. In this work, we establish a polylog(n) upper bound on its mixing time for various families of random n × n sparse Hamiltonians at any constant temperature. We further analyze how the choice of the jump operators for the algorithm and the spectral properties of these sparse Hamiltonians influence the mixing time. Our result places this method for Gibbs sampling on par with other efficient algorithms for preparing low-energy states of quantumly easy Hamiltonians.

研究动机与目标

• 严格界定非交换量子系统中量子吉布斯采样算法的混合时间。
• 分析跳跃算符和稀疏哈密顿量的谱特性如何影响收敛速度。
• 在高温区域之外建立 CKG 算法的理论效率。
• 证明量子吉布斯采样可对物理上相关的稀疏哈密顿量实现高效的热态制备。

提出的方法

• 分析 CKG 算法的 Lindbladian 动力学，其在量子系统上模拟细致平衡的耗散过程。
• 应用矩阵伯恩斯坦不等式，界定由随机跳跃算符引起的 Lindbladian 扰动。
• 利用 Weyl 定理，将完整 Lindbladian 的谱隙与参考平均算符的谱隙关联起来。
• 采用能量分辨的跳跃算符和谱分解，推导谱隙的下界。
• 同时考虑有界和无界度的稀疏哈密顿量，包括具有局部跳跃的超立方体模型。
• 证明在超立方体上使用局部跳跃算符可获得 Ω(1/d) 的谱隙，意味着系统尺寸下具有对数多对数混合时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 CKG 量子吉布斯采样器在稀疏哈密顿量上的混合时间是否可在高温区域之外被界定？
• RQ2 跳跃算符的选择和稀疏哈密顿量的谱结构如何影响算法的收敛速率？
• RQ3 在恒定温度下，随机稀疏哈密顿量在 CKG Lindbladian 下的谱隙如何随系统规模变化？
• RQ4 在如超立方体等结构图上使用局部跳跃算符能否实现量子吉布斯采样的高效混合？
• RQ5 CKG Lindbladian 的谱隙对跳跃算符的随机波动是否具有鲁棒性？

主要发现

• 对于任意恒定逆温度 β 的随机 n×n 稀疏哈密顿量，CKG 算法的混合时间被界定为 O(polylog(n))。
• Lindbladian 的谱隙下界为 Ω(δ(n))，其中 δ(n) 衡量了哈密顿量本征值的谱分离度。
• 对于具有局部跳跃算符的 d 维超立方体，谱隙为 Ω(1/d)，导致在量子比特数量上具有对数多对数混合时间。
• 通过矩阵伯恩斯坦不等式证明，算法性能对跳跃算符的随机扰动具有鲁棒性。
• 在超立方体上使用局部跳跃算符相比朴素的 1-设计跳跃，实现了混合时间的指数级提升。
• 该结果表明，量子吉布斯采样可高效制备物理上相关的稀疏哈密顿量的热态，在有利情况下与经典 MCMC 方法效率相当。