[论文解读] Mixing times are hitting times of large sets

Yuval Peres, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用 6

一句话总结

该论文证明，在有限状态空间上的可逆、不可约马尔可夫链中，懒马尔可夫链的混合时间在渐近意义上等价于所有大集合（平稳测度 ≥ α < 1/2）的最大 hitting 时间。此外，研究进一步表明，对两个连续步骤进行平均，其混合时间与懒马尔可夫链的混合时间等价，从而建立了混合时间与 hitting 时间之间新的联系，具有对鲁棒性和停止时间分析的启示意义。

ABSTRACT

We consider irreducible reversible discrete time Markov chains on a finite state space. Mixing times and hitting times are fundamental parameters of the chain. We relate them by showing that the mixing time of the lazy chain is equivalent to the maximum over initial states x and large sets A of the hitting time of A starting from x. We also prove that the first time when averaging over two consecutive time steps is close to stationarity is equivalent to the mixing time of the lazy version of the chain.

研究动机与目标

• 建立可逆马尔可夫链中混合时间与 hitting 时间之间的基本等价性。
• 解决关于混合时间、大集合 hitting 时间与停止时间之间关系的开放问题。
• 证明在二叉树等特定图中，混合时间对有界导通率扰动具有鲁棒性。
• 提供连续时间混合与离散时间平均混合之间等价性的新证明。

提出的方法

• 定义大集合的最大 hitting 时间，$ t_H(\alpha) = \max_{x,A: \pi(A) \geq \alpha} \mathbb{E}_x[\tau_A] $，其中 $ \alpha < 1/2 $。
• 证明对于可逆链，$ t_L \asymp t_H(\alpha) $，其中 $ t_L $ 为懒马尔可夫链的混合时间。
• 引入平均混合时间 $ t_{\text{ave}}(\varepsilon) $，通过两个连续转移步骤的平均的总变差距离来定义。
• 建立 $ t_{\text{ave}} \asymp t_L $，表明对两个步骤进行平均即可捕捉到混合时间。
• 利用势论和 Wald 恒等式，关联不同跳跃分布和导通率下的 hitting 时间。
• 利用已知的停止时间结果与随机目标引理，比较 $ t_{\text{stop}} $、$ t_{\text{ave}} $ 与 $ t_L $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可逆马尔可夫链中，懒马尔可夫链的混合时间是否与大集合的最大 hitting 时间等价？
• RQ2 是否能通过连续两个步骤的平均来等价刻画混合时间？
• RQ3 尽管当 $ \alpha > 1/2 $ 时 $ t_H(1/2) \asymp t_L $ 不成立，该等价性 $ t_H(1/2) \asymp t_L $ 是否对所有可逆链都成立？
• RQ4 导通率扰动如何影响混合时间？混合时间在这些变化下是否具有鲁棒性？
• RQ5 在可逆链中，停止时间混合时间与其他混合时间参数之间存在何种关系？

主要发现

• 对于每个可逆马尔可夫链及 $ \alpha < 1/2 $，懒马尔可夫链的混合时间 $ t_L $ 与大集合的最大 hitting 时间 $ t_H(\alpha) $ 之间存在渐近等价性，即存在绝对常数 $ c'_\alpha, c_\alpha > 0 $，使得 $ c'_\alpha t_H(\alpha) \leq t_L \leq c_\alpha t_H(\alpha) $。
• 平均混合时间 $ t_{\text{ave}}(1/4) $ 与懒马尔可夫链的混合时间 $ t_L $ 等价，且存在绝对常数 $ c, c' > 0 $，使得 $ c t_L \leq t_{\text{ave}} \leq c' t_L $。
• 该结果意味着 $ t_{\text{stop}} \asymp t_L $，从而解决了可逆情形下停止时间等价性的开放问题。
• 对于二叉树，有界导通率扰动仅使混合时间改变常数倍，证明了其鲁棒性。
• 该论文确认了 $ t_H(1/2) \asymp t_L $ 对所有可逆链均成立，后续由 Griffiths 等人证实了该结论。
• 该论文提供了不等式 $ t_{\text{prod}} \leq c_1 t_{\text{cts}} $ 的新证明，该不等式是 Aldous 证明连续时间混合时间等价性时的难点所在。