[论文解读] Mixing times for the interchange process

Johan Jonasson|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文通过比较技术和Wilson方法，确定了图上交换过程的混合时间阶，推导出上下界。证明了完全图的混合时间为$\Theta(n\log n)$，路径图的混合时间为$\Theta(n^3\log n)$，而超立方体的混合时间为$O(n\log^3 n)$，在对数因子范围内证实了Wilson的猜想。

ABSTRACT

Consider the interchange process on a connected graph $G=(V,E)$ on $n$ vertices. I.e.\ shuffle a deck of cards by first placing one card at each vertex of $G$ in a fixed order and then at each tick of the clock, picking an edge uniformly at random and switching the two cards at the end vertices of the edge with probability 1/2. Well known special cases are the random transpositions shuffle, where $G$ is the complete graph, and the transposing neighbors shuffle, where $G$ is the $n$-path. Other cases that have been studied are the $d$-dimensional grid, the hypercube, lollipop graphs and Erd\H os-Rényi random graphs above the threshold for connectedness. In this paper the problem is studied for general $G$. Special attention is focused on trees, random trees and the giant component of critical and supercritical $G(N,p)$ random graphs. Upper and lower bounds on the mixing time are given. In many of the cases, we establish the exact order of the mixing time. We also mention the cases when $G$ is the hypercube and when $G$ is a bounded-degree expander, giving upper and lower bounds on the mixing time.

研究动机与目标

• 确定一般连通图上交换过程的混合时间，扩展已知的完全图和路径等特殊情况的结果。
• 为各类图族（包括树、随机图和扩张图）建立混合时间的精确上下界。
• 解决关于超立方体及临界/超临界Erdős-Rényi随机图的开放问题，确认混合时间阶的猜想。
• 开发并应用比较技术与Wilson方法，通过谱论和路径论证来界定混合时间。

提出的方法

• 通过交换过程与更简单链（如随机对换）之间的比较技术，利用路径中边的使用情况来界定混合时间。
• 通过分析单张牌运动的第二大特征值及特征向量的$L^1$-范数，应用Wilson方法获得下界。
• 在图中构造路径以界定所有顶点对之间最大边使用次数，确保比较引理适用。
• 使用概率论论证和集中不等式，证明以高概率路径中的边使用量被限制在$O(n\log n)$或$O(n\log^3 n)$以内。
• 利用随机图的结构性质（如巨大连通分量、扩张图）简化路径构造和边使用量的界定。
• 应用随机图理论的结果，如Benjamini等对巨大连通分量的刻画，以在临界和超临界区域推导出界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 超立方体上交换过程的混合时间的确切阶是多少？
• RQ2 交换过程的混合时间与同一图上简单随机游走的混合时间相比如何？
• RQ3 树和随机树上的混合时间的精确上下界是什么？
• RQ4 临界和超临界Erdős-Rényi随机图的巨大连通分量上，交换过程的混合时间阶是多少？
• RQ5 Wilson方法能否扩展至在一般图上建立混合时间的精确下界？

主要发现

• 完全图上交换过程的混合时间为$\Theta(n\log n)$，与随机对换洗牌一致。
• 在$n$-路径上，混合时间为$\Theta(n^3\log n)$，证实了Aldous的猜想和Wilson的下界。
• 对于超立方体$\mathbb{Z}_2^d$，混合时间为$O(n\log^3 n)$，支持Wilson的猜想，即其为$\Theta(n\log^2 n)$，仅相差对数因子。
• 在$G(N, (1+\epsilon)/N)$的巨大连通分量上，混合时间为$\Theta(n\log^3 n)$，上下界均已建立。
• 对于$d$-维网格和有界度扩张图，混合时间被界定为$O(n\log^3 n)$，在某些情况下存在匹配的下界。
• 本文证明，在许多图中，交换过程的混合时间比简单随机游走的混合时间高出$n\log n$倍。