[论文解读] Mixture of entangled pure states with maximally mixed one-qudit reduced density matrices

M. Flores, Eric A. Galapon|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文利用基于纯度的可分性判据，研究了当纠缠纯态混合物的单qudit约化密度矩阵为最大混合态时，其何时仍保持纠缠。结果表明，当态的数量 M 小于或等于维度 d 时，此类混合态保持纠缠；当 M = d 时，若各态权重不相等，则纠缠依然存在，从而可通过限制所用态的集合，构造出真正的混合纠缠态。

ABSTRACT

We study the conditions when mixtures of entangled pure states with maximally mixed one-qudit reduced density matrices remain entangled. We found that the resulting mixed state remains entangled when the number of entangled pure states to be mixed is less than or equal to the dimension of the pure states. For the latter case of mixing a number of pure states equal to their dimension, we found that the mixed state is entangled provided that the entangled pure states to be mixed are not equally weighted. We also found that one can restrict the set of pure states that one can mix from in order to ensure that the resulting mixed state is genuinely entangled.

研究动机与目标

• 确定纠缠纯态混合物在单qudit约化密度矩阵为最大混合态时保持纠缠的条件。
• 开发一种实用的判据，用于检测此类混合态中的纠缠，而无需依赖计算量大的凸包扩展方法。
• 通过限制混合态中所用纯态的集合，构造真正多体纠缠的混合态类别。
• 在两体比特情况下，将结果与已知的纠缠度量（尤其是concurrence）进行验证。

提出的方法

• 采用基于纯度的可分性判据，若全局态的纯度超过任意子系统纯度，则推断存在纠缠。
• 将不等式 tr(ρ²) ≤ tr(ρⁱ²) 对所有子系统 i 成立作为可分性的必要条件，其违反表明可能存在纠缠。
• 分析 N 体纠缠纯态（维度为 d）的混合态，每个态的单qudit约化密度矩阵均为最大混合态。
• 推导出混合态保持纠缠的条件，特别是当 M ≤ d 时，以及当 M = d 且权重非均匀时的情况。
• 通过限制混合态中所用纯态的集合，确保最终态具有真正的多体纠缠。
• 在两体比特情况下，将结果与 concurrence 度量进行验证，此时存在闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当纠缠纯态混合物的单qudit约化密度矩阵为最大混合态时，其在何种条件下仍保持纠缠？
• RQ2 混合态中纯态数量 M 与单个态维度 d 的关系如何影响纠缠的判定？
• RQ3 当 M = d 且各纯态权重相等或不相等时，纠缠行为有何不同？
• RQ4 是否可通过限制所用纯态的集合，确保最终混合态具有真正的多体纠缠？
• RQ5 在两体比特情况下，结果与已知纠缠度量（如 concurrence）相比如何？

主要发现

• 当 M ≤ d 时，M 个具有最大混合单qudit约化密度矩阵的纠缠纯态混合物保持纠缠。
• 当 M = d 时，混合态保持纠缠当且仅当各纯态的权重不全相等。
• 当 M > d 时，基于纯度的判据无法检测到纠缠，表明存在超出该判据适用范围的纠缠态。
• 通过限制混合态中所用纯态的集合，可构造出真正多体纠缠的混合态。
• 在两体比特情况下，结果与 concurrence 度量一致：非均匀加权的 Bell 态混合物产生非零 concurrence。
• 本文指出，当 M > d 时，此类态属于 II 型，其在量子密码学或通信复杂度降低等应用中用处较小。