[论文解读] mm-Spaces and group actions

Vladimir Pestov|ArXiv.org|Oct 26, 2001

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文引入了 mm-空间——带有概率测度的度量测度空间——并探讨了群作用如何影响测度集中性，将其与拉姆齐理论联系起来。研究证明，勒维族（具有强集中性的 mm-空间）自然地出现在变换群中，并表明集中性可通过格罗莫夫的 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$ 距离形式化，进而证明：当且仅当一个 mm-空间序列在此度量下收敛于平凡空间时，它构成一个勒维族。

ABSTRACT

These are introductory notes on some aspects of concentration of measure in the presence of an acting group and its links to Ramsey theory.

研究动机与目标

• 为高维空间中测度集中性、群作用与拉姆齐型现象之间的相互作用提供一个易于理解的导论。
• 在群作用（特别是等距和测度保持变换）下，形式化 mm-空间中集中性的概念。
• 建立一个度量——格罗莫夫的 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$——以刻画收敛于平凡空间的性质，从而捕捉勒维族的本质。
• 证明勒维族自然出现在经典群（如球面、SO(n)、对称群）及乘积空间中，前提是采用适当的度量与测度。
• 探讨开放问题，例如构造出集中于群上随机游动非平凡边界上的 mm-空间。

提出的方法

• 将 mm-空间定义为三元组 $(X,d,\mu)$，其中 $d$ 为度量，$\mu$ 为博雷尔概率测度，并引入集中函数 $\alpha_X(\varepsilon)$，定义为 $1 - \inf\{\mu(A_\varepsilon) \mid \mu(A) \geq \frac{1}{2}\}$。
• 将勒维族定义为 mm-空间序列，使得对所有 $\varepsilon > 0$，当 $n \to \infty$ 时，有 $\alpha_n(\varepsilon) \to 0$，表明具有强集中性。
• 通过等距作用与测度保持作用的群作用构造勒维族的实例，如 $\mathbb{S}^n$、$\mathrm{SO}(n)$、$S_n$ 和 $\{0,1\}^n$。
• 利用格罗莫夫的 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$ 度量，通过在测度收敛下对 $1$-Lipschitz 函数空间的 Hausdorff 距离来定义 mm-空间之间的距离。
• 证明：一个 mm-空间序列构成勒维族，当且仅当它在 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$ 度量下收敛于平凡空间 $\{\ast\}$。
• 通过将框架扩展至非原子乘积空间 $X^n$，限制于具有可测 $\varepsilon$-邻域的可测集，保持集中性行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 mm-空间上的群作用如何影响测度集中性现象？
• RQ2 勒维族在集中函数及其收敛性方面有何特征？
• RQ3 格罗莫夫的 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$ 度量能否用于形式化收敛于平凡空间，并因此刻画勒维族？
• RQ4 在何种条件下，配备归一化汉明距离与乘积测度的乘积空间 $X^n$ 构成勒维族？
• RQ5 如何形式化集中于非平凡空间的现象？随机游动在群上的作用在此情境中起什么作用？

主要发现

• 单位球面 $\mathbb{S}^n$ 配备归一化哈尓测度与测地距离构成勒维族，其集中函数满足 $\alpha_n(\varepsilon) \leq C_1 \exp(-C_2 n \varepsilon^2)$。
• 特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$ 配备归一化哈尓测度与算子范数度量构成勒维族，该结果由格罗莫夫与米尔曼证明。
• 对称群 $S_n$ 配备归一化计数测度与归一化汉明距离构成勒维族，该结果由莫雷伊给出。
• 汉明立方体 $\{0,1\}^n$ 配备归一化计数测度与归一化汉明距离构成勒维族，具有高斯集中界。
• mm-空间序列 $X_n$ 构成勒维族，当且仅当它在格罗莫夫的 ${\underline{H}_1{\cal L}\iota}$ 度量下收敛于平凡空间 $\{\ast\}$。
• 对于 mm-空间 $X$ 上的任意 $1$-Lipschitz 函数 $f$，满足 $|f - M_f| > \varepsilon$ 的集合的测度被限制在 $2\alpha_X(\varepsilon)$ 以内，表明此类函数以高概率几乎为常数。