[论文解读] Mock Modular Forms with Integral Fourier Coefficients

Yingkun Li, Markus Schwagenscheidt|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文通过计算涉及权重为1/2和3/2的单变量theta函数作为影子的正则化Petersson内积，显式构造了具有整数傅里叶系数的模拟模形式。关键贡献在于证明：将这些形式乘以显式因子（24N⁴或144N⁴）后，其系数为整数，从而首次为这类形式提供了绝对分母界，优于以往的指数型界。

ABSTRACT

In this note, we explicitly construct mock modular forms with integral Fourier coefficients by evaluating regularized Petersson inner products involving their shadows, which are unary theta functions of weights 1/2 and 3/2 . In addition, we also improve the known bounds for the denominators of the coefficients of mock modular forms whose shadows are holomorphic weight one cusp forms constructed by Hecke.

研究动机与目标

• 为权重1/2和3/2的单变量theta函数作为影子，显式构造具有整数傅里叶系数的模拟模形式。
• 改进现有对具有全纯影子的模拟模形式傅里叶系数分母的指数型界。
• 利用正则化theta提升与Serre对偶性，显式可计算地构造单变量theta函数的ξ-原像。
• 建立傅里叶系数分母的绝对界，从而精确确定相关公式中代数值的定义域。
• 通过具有有界分母的新显式公式，拓展关于Hurwitz类数与Ramanujan的模拟theta函数的已知结果。

提出的方法

• 计算弱全纯模形式与权重1/2或3/2的单变量theta函数之间的正则化Petersson内积。
• 利用恒等式 ⟨g(τ), θN(τ; ν)⟩ = ⟨g(τ)η(τ)⁻⁴, θN(τ; ν)η(τ)⁴⟩，将内积与签名(1,4)的theta函数关联。
• 应用Borcherds与Bruinier的正则化theta提升技术，将内积表示为theta提升在某一点的特殊值。
• 通过Serre对偶性重构模拟模形式，确保全纯部分具有有理系数。
• 当2N或6N为完全平方时，利用格点和式与实二次域上的迹映射构造显式公式。
• 利用Atkin-Lehner对合与实二次域中的单位群控制系数的算术性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出影子为权重1/2或3/2的单变量theta函数、且傅里叶系数为整数的模拟模形式？
• RQ2 此类模拟模形式的傅里叶系数的最小可能分母界是多少？
• RQ3 能否通过构造性方法将先前工作的指数型分母界改进为绝对界？
• RQ4 这些模拟形式的系数如何与已知的算术对象（如Hurwitz类数或Ramanujan的模拟theta函数）相关联？
• RQ5 该方法能否推广至判别式非平方、格点为非迷向的情形？

主要发现

• 对任意N ∈ ℕ，存在一个权重为1/2的模拟模形式eθ⁺_N(τ; 1)，其影子为(1/√N)θN(τ; 1)，且24N⁴倍该形式具有整数傅里叶系数。
• 类似地，存在一个权重为3/2的模拟模形式eθ⁺_N(τ; 0)，其影子为(√N / 2π)θN(τ; 0)，且144N⁴倍该形式具有整数傅里叶系数。
• 24N⁴与144N⁴的分母界为绝对界，不随索引增长，优于以往工作的指数型界。
• 通过实二次域上的格点和式与迹映射，推导出eθ⁺_N(τ; ν)的显式公式，尤其在2N或6N为完全平方时成立。
• 该构造恢复了已知例子，如Hurwitz类数的生成级数以及Ramanujan的模拟theta函数f(q)与ω(q)，且其分母有界。
• 当N = 6时，该方法给出了Ramanujan的f(q)的显式公式，表示为具有有界分母的格点点之和，从而验证了理论界。