[论文解读] Mod $p$ points on Shimura varieties of parahoric level (with an appendix by Rong Zhou)

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

该论文证明了当群在p处拟分裂时，具有旁正规水平结构的霍奇型希米达-维加 canonical 整数模型在模p点中的每个同源类都包含一个CM（特殊）点的约化，从而证实了Kisin–Madapusi-Pera–Shin的猜想。证明通过全局约化至极特殊旁正规水平的情形，借助局部shtuka理论与统一化方法完成，其中关键的技术输入来自Rong Zhou在附录中关于极特殊水平下仿射Deligne–Lusztig簇的连通分支的研究。

ABSTRACT

We study the mod $p$-points of the Kisin--Pappas integral models of Shimura varieties of Hodge type with parahoric level. We show that if the group is quasi-split, then every isogeny class contains the reduction of a CM point, proving a conjecture of Kisin--Madapusi-Pera--Shin. We furthermore show that the mod $p$ isogeny classes are of the form predicted by the Langlands--Rapoport conjecture if either the Shimura variety is proper or if the group at $p$ is unramified. The main ingredient in our work is a global argument that allows us to reduce the conjecture to the case of very special parahoric level. This case is dealt with in the appendix by Rong Zhou. As a corollary to our arguments, we determine the connected components of Ekedahl--Oort strata.

研究动机与目标

• 证明具有旁正规水平结构的霍奇型希米达-维加canonical整数模型在模p点中的每个同源类都包含一个特殊（CM）点的约化。
• 在附加条件（在p处的正规性或无ramification）下，验证朗兰兹–拉波波特猜想对这些希米达-维加中模p同源类结构的预测。
• 通过仿射Deligne–Lusztig簇与shtuka理论方法，建立同源类的统一化。
• 通过极特殊水平下仿射Deligne–Lusztig簇的结构，确定Ekedahl–Oort子簇的连通分支。

提出的方法

• 使用全局论证，将旁正规水平的一般情形约化至极特殊旁正规水平的情形。
• 应用局部shtuka理论，以及仿射旗流形与仿射Deligne–Lusztig簇的理论，研究模p点。
• 通过G(Ap_f)在X(μ, b)K(Fp)上的作用与Frobenius算子Φ的作用，建立同源类的统一化。
• 利用完美局部模型图与交换图论证，将模p点与局部shtuka数据联系起来。
• 依赖Rong Zhou的附录，分析极特殊水平下仿射Deligne–Lusztig簇的连通分支，尤其在Newton子层的背景下。
• 应用Dieudonné理论与旁正规群概形理论，将希米达-维加上的点与G(Qp)/G(Zp)中的元素以及G(Ap_f)-主齐性空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群在p处拟分裂时，霍奇型旁正规水平希米达-维加的模p点中，每个同源类是否都包含一个特殊（CM）点的约化？
• RQ2 在希米达-维加是正规的或在p处无ramification的条件下，朗兰兹–拉波波特猜想对模p同源类结构的预测是否在这些希米达-维加中实现？
• RQ3 这些希米达-维加中Ekedahl–Oort子簇的连通分支是什么？它们与仿射Deligne–Lusztig簇的几何结构有何关系？
• RQ4 如何通过局部shtuka数据与Frobenius算子Φ的作用建立同源类的统一化？
• RQ5 极特殊旁正规水平下仿射Deligne–Lusztig簇的连通分支的精确结构是什么？这与希米达-维加的全局几何有何关联？

主要发现

• 该论文证实了Kisin–Madapusi-Pera–Shin的猜想1：当GQp为拟分裂时，SU(G, X)(Fp)中的每个同源类都包含一个特殊点的约化。
• 当希米达-维加是正规的或在p处无ramification时，模p同源类的结构与Langlands–Rapoport猜想的预测一致（[52]中的猜想9.2）。
• Ekedahl–Oort子簇的连通分支由极特殊水平下仿射Deligne–Lusztig簇的连通分支确定，如附录中Rong Zhou所建立。
• 通过G(Ap_f)-等变双射建立了同源类的统一化：Ix(Q)\X(μ, b)K(Fp) × G(Ap_f) → Ix。
• 在极特殊旁正规水平下，映射X(μ, b)K(Fp) → SU(G, X)(Fp)被证明是满射且与Frobenius相容，从而在该情形下证实了CM提升的存在性。
• 附录中的关键技术结果表明X(μ, b)K◦ = X(μ, b)K，即在极特殊水平下，所有点都可提升为特殊点，亦即整个仿射Deligne–Lusztig簇都由可提升点构成。