[论文解读] Modal Translation of Substructural Logics

Takis Hartonas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 42被引用 1

一句话总结

本文提出了一种统一、完整且忠实的非分配性次结构逻辑（如BCI、BCK、FL和NFL）到有序、剩余模态逻辑的模态翻译，使得紧凑性、L"owenheim-Skolem定理和可判定性等模型论性质得以转移。关键贡献在于一种系统化的嵌入方法，通过在共享框架上的次结构语言与模态语言之间实现双向翻译，保持可证明性和语义性。

ABSTRACT

In an article dating back in 1992, Kosta Došen initiated a project of modal translations in substructural logics, aiming at generalizing the well-known Gödel-McKinsey-Tarski translation of intuitionistic logic into {\bf S4}. Došen's translation worked well for (variants of) {\bf BCI} and stronger systems ({\bf BCW}, {\bf BCK}), but not for systems below {\bf BCI}. Dropping structural rules results in logic systems without distribution. In this article, we show, via translation, that every substructural (indeed, every non-distributive) logic is a fragment of a corresponding sorted, residuated (multi) modal logic. At the conceptual and philosophical level, the translation provides a classical interpretation of the meaning of the logical operators of various non-distributive propositional calculi. Technically, it allows for an effortless transfer of results, such as compactness, Löwenheim-Skolem property and decidability.

研究动机与目标

• 将G"odel-McKinsey-Tarski翻译从直觉逻辑扩展到非分配性次结构逻辑。
• 解决Dośen早期模态翻译的局限性，该翻译在弱系统（如(N)FL）中因缺乏分配律而失效。
• 在次结构逻辑与一类相应的有序、剩余模态逻辑之间建立完整且忠实的翻译。
• 实现从模态逻辑到原始次结构系统的模型论性质（如紧凑性和L"owenheim-Skolem定理）的转移。
• 通过格扩张表示的模态语义，为非分配性逻辑算子提供经典解释。

提出的方法

• 定义一个双序一阶语言，包含表示域及其对偶的排序X和Y，用于框架语义。
• 构建一个翻译ϕ●和共翻译ϕ○，将次结构公式映射到有序模态语言中，保持逻辑结构。
• 在相同框架F上，建立次结构逻辑模型(F, ⊩)与模态逻辑模型(F, ⊧)之间的框架对应关系。
• 通过两个系统的完备性定理，证明ϕ ⊩ ψ在次结构逻辑中成立当且仅当ϕ● ⊧ ψ●在模态逻辑中成立，且反之亦然。
• 利用排序约化技术将双序一阶逻辑翻译为单序片段，通过二变量一阶逻辑的有限模型性质，实现可判定性结果。
• 利用格扩张和剩余结构的表示定理，确保模态伴随逻辑定义良好，并对应于扩展了剩余布尔代数的经典命题逻辑。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有次结构逻辑（包括无分配律的逻辑，如(N)FL）构建一种统一的模态翻译？
• RQ2 所提出的翻译是否在两个方向上均保持可证明性和有效性，确保完全忠实？
• RQ3 紧凑性和L"owenheim-Skolem定理等模型论性质能否从模态伴随逻辑转移到原始次结构逻辑？
• RQ4 如何通过模态手段对非分配性逻辑算子的语义进行经典解释？
• RQ5 该方法在多大程度上可扩展至完整的Lambek-Grishin系统及其他非分配性逻辑？

主要发现

• 该模态翻译是完整且忠实的：ϕ ⊢ ψ在次结构逻辑中成立当且仅当ϕ● ⊢ ψ●在有序模态逻辑中成立。
• 所有次结构逻辑均满足紧凑性，因为其继承自有序一阶逻辑的紧凑性。
• 上行和下行L"owenheim-Skolem定理得以保持：若一组次结构句子具有可数或无限模型，则其具有任意不可数或可数基数的模型。
• 次结构逻辑的满足性问题在非确定性指数时间内可判定，基于一阶逻辑二变量片段的有限模型性质。
• 通过Gr"adel、Kolaitis和Vardi的结果，复杂度界被优化为单指数级模型规模，支持高效的可判定性检查。
• 该方法可扩展至完整的Lambek-Grishin演算，以及任何基于格扩张表示的非分配性逻辑。