[论文解读] Model category structures arising from Drinfeld vector bundles

Sergio Estrada, Pedro A. Guil Asensio+2 more|ArXiv.org|Jun 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在半分离概形上的拟 coherent 线丛的无界链复形上构造单边模型范畴结构的一般方法，通过在仿射开子集上对模截面使用相容的滤子。该方法在不假设对直接极限封闭的前提下，推广了先前关于平坦与向量丛模型结构的结果，并证明了无限制的平坦 Mittag-Leffler 线丛通常不会产生此类结构。

ABSTRACT

We present a general construction of model category structures on the category $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ of unbounded chain complexes of quasi-coherent sheaves on a semi-separated scheme $X$. The construction is based on making compatible the filtrations of individual modules of sections at open affine subsets of $X$. It does not require closure under direct limits as previous methods. We apply it to describe the derived category $\mathbb D (\mathfrak{Qco}(X))$ via various model structures on $\mathbb{C}(\mathgrak{Qco}(X))$. As particular instances, we recover recent results on the flat model structure for quasi-coherent sheaves. Our approach also includes the case of (infinite-dimensional) vector bundles, and of restricted flat Mittag-Leffler quasi-coherent sheaves, as introduced by Drinfeld. Finally, we prove that the unrestricted case does not induce a model category structure as above in general.

研究动机与目标

• 在半分离概形上的无界链复形的拟 coherent 线丛上构造单边模型范畴结构。
• 在不假设对直接极限封闭的前提下，推广现有的平坦与向量丛模型结构。
• 刻画无限制的平坦 Mittag-Leffler 拟 coherent 线丛何时能诱导出模型结构。
• 建立一个框架，通过多种相容的模型结构来描述导出范畴。
• 证明无限制的平坦 Mittag-Leffler 类通常无法产生模型结构。

提出的方法

• 通过半分离概形 $X$ 的仿射开子集上的截面相容滤子，在 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上构造模型结构。
• 将纤维化定义为核属于 $\mathit{dg}\,\widetilde{\mathcal{C}^\perp}$ 的满射，将纤维化定义为余核属于 $\mathit{dg}\,\widetilde{\mathcal{C}}$ 的单射，其中 $\mathcal{C}$ 为合适类。
• 通过要求每个仿射开子集 $v$ 上的截面类 $S_v$ 对张量积封闭且为 $\mathscr{R}(v)$ 上的平坦模，来确保单边性。
• 使用一种新滤子技术，避免依赖于对直接极限的封闭性，从而比以往方法具有更广适用性。
• 将该构造应用于恢复平坦与向量丛模型结构的已知结果作为特例。
• 通过涉及 $\aleph_1$-自由群的同调障碍论证，证明无限制平坦 Mittag-Leffler 线丛不存在模型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设对直接极限封闭的前提下，构造 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上的模型范畴结构？
• RQ2 在何种条件下，德林费尔德向量丛类能诱导出 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上的单边模型结构？
• RQ3 无限制的平坦 Mittag-Leffler 拟 coherent 线丛类是否能拥有与阿贝尔结构相容的模型范畴结构？
• RQ4 导出范畴 $\mathbb{D}(\mathfrak{Qco}(X))$ 及其态射如何与 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上的各种模型结构相关联？
• RQ5 何种同调障碍阻止无限制平坦 Mittag-Leffler 类诱导出可生成的模型结构？

主要发现

• 为半分离概形建立了 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上模型范畴结构的一般构造，使用相容截面滤子，且无需对直接极限封闭。
• 该构造作为特例恢复了在拟紧、半分离概形上 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上的单边平坦模型结构。
• 当概形 $X$ 具备足够多的无限维向量丛时，$X$ 上的无限维向量丛类在 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上诱导出单边模型结构。
• 无限制的平坦 Mittag-Leffler 拟 coherent 线丛类通常不会在 $\mathbb{C}(\mathfrak{Qco}(X))$ 上诱导出模型范畴结构。
• $\mathrm{Mod}$-$\mathbb{Z}$ 中所有 $\aleph_1$-自由阿贝尔群类不具有预覆盖类，这意味着它无法诱导出可生成的模型结构。
• 通过构造一个无限秩的 $\aleph_1$-自由群 $G_{\mu^+}$，并证明 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(G_{\mu^+}, B) = 0$，导出矛盾，从而反驳了 $\mathbb{Q}$ 存在 $\mathcal{D}$-预覆盖的假设。