[论文解读] Model checking Branching-Time Properties of Multi-Pushdown Systems is Hard

Mohamed Faouzi Atig, Ahmed Bouajjani+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文表明，在有界上下文切换下，对多栈下推系统（MPDSs）使用分支时态逻辑（特别是仅含EF和EX算符的CTL片段）进行模型检测本质上是非元素时间困难的。作者通过将空间有界的图灵机归约到MPDSs，建立了非元素时间下界，表明即使对于受限片段，该问题的复杂性也无法避免。

ABSTRACT

We address the model checking problem for shared memory concurrent programs modeled as multi-pushdown systems. We consider here boolean programs with a finite number of threads and recursive procedures. It is well-known that the model checking problem is undecidable for this class of programs. In this paper, we investigate the decidability and the complexity of this problem under the assumption of bounded context-switching defined by Qadeer and Rehof, and of phase-boundedness proposed by La Torre et al. On the model checking of such systems against temporal logics and in particular branching time logics such as the modal $μ$-calculus or CTL has received little attention. It is known that parity games, which are closely related to the modal $μ$-calculus, are decidable for the class of bounded-phase systems (and hence for bounded-context switching as well), but with non-elementary complexity (Seth). A natural question is whether this high complexity is inevitable and what are the ways to get around it. This paper addresses these questions and unfortunately, and somewhat surprisingly, it shows that branching model checking for MPDSs is inherently an hard problem with no easy solution. We show that parity games on MPDS under phase-bounding restriction is non-elementary. Our main result shows that model checking a $k$ context bounded MPDS against a simple fragment of CTL, consisting of formulas that whose temporal operators come from the set ${\EF, \EX}$, has a non-elementary lower bound.

研究动机与目标

• 研究在有界上下文切换下，对多栈下推系统（MPDSs）使用分支时态逻辑（如CTL）进行模型检测的可判定性与复杂性。
• 确定有界阶段MPDSs上parity游戏的高复杂度是否不可避免。
• 为在有界上下文切换下的MPDSs模型检测建立非元素时间下界。
• 分析CTL的简化片段（例如仅含EF和EX算符）是否仍导致高复杂度。
• 证明即使在受限的时态逻辑片段下，也存在本质上困难的问题，这在并发递归程序验证中具有重要意义。

提出的方法

• 将工作在空间Tow(k)内的空间有界的非确定性图灵机（Turing machine）归约为具有有界上下文切换的多栈下推系统（MPDS）。
• 构建一个MPDS，通过在栈上编码配置并使用子程序验证转换来模拟图灵机的计算过程。
• 使用专门的子程序验证k-配置、检查配置可达性，并通过栈操作验证后继配置。
• 使用仅含EF和EX算符的CTL公式表达图灵机对输入字的接受。
• 应用变换以消除EU算符，表明即使在仅限EF和EX的片段中，非元素时间下界依然成立。
• 采用受Stockmeyer工作启发的计数器编码技术，通过栈配置模拟大空间界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界上下文切换下，对MPDSs使用分支时态逻辑（如CTL）进行模型检测是否可判定？
• RQ2 有界阶段MPDSs上parity游戏的非元素时间复杂度是否在受限CTL片段中依然存在？
• RQ3 通过限制为更简单的时态算符（如EF和EX）是否可以避免模型检测的高复杂度？
• RQ4 对MPDSs模型检测的非元素时间下界是否本质存在，还是可通过结构限制规避？
• RQ5 能否将空间有界的图灵机编码为具有有界上下文切换的MPDS，以建立复杂度下界？

主要发现

• 在仅含EF和EX算符的CTL片段下，对k-上下文有界MPDSs进行模型检测具有非元素时间下界。
• 该构造使用了常数数量的额外状态，并将最大上下文切换次数限制为4 + 2k。
• CTL公式的大小为O(2k + |ΣM|6)，在k上呈指数级增长，反映了编码大空间界限的复杂性。
• 该归约表明，即使仅含EF和EX的CTL片段也足以捕捉空间有界图灵机的复杂性。
• 即使在消除EU算符后，该结果依然成立，证实该下界对语法简化具有鲁棒性。
• 该证明技术依赖于使用基于栈的计数器编码图灵机配置，扩展了Cachat和Walukiewicz在高阶下推系统方面的工作。