[论文解读] Model Checking Games for the Quantitative mu-Calculus

Diana Fischer, Erich Grädel+1 more|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过引入量化公平游戏（quantitative parity games），建立了定量μ-演算的博弈论表征，证明了在量化转移系统中，公式的值等于其关联的模型检测博弈的值。关键贡献在于尽管量化博弈缺乏位置确定性，逻辑与博弈之间仍存在双向对应关系。

ABSTRACT

We investigate quantitative extensions of modal logic and the modal mu-calculus, and study the question whether the tight connection between logic and games can be lifted from the qualitative logics to their quantitative counterparts. It turns out that, if the quantitative mu-calculus is defined in an appropriate way respecting the duality properties between the logical operators, then its model checking problem can indeed be characterised by a quantitative variant of parity games. However, these quantitative games have quite different properties than their classical counterparts, in particular they are, in general, not positionally determined. The correspondence between the logic and the games goes both ways: the value of a formula on a quantitative transition system coincides with the value of the associated quantitative game, and conversely, the values of quantitative parity games are definable in the quantitative mu-calculus.

研究动机与目标

• 将经典μ-演算与公平游戏之间的对偶性扩展至量化设置。
• 探究逻辑与博弈之间的紧密联系在μ-演算的量化扩展中是否依然成立。
• 定义一个具有恰当对偶性与闭包性质的定量μ-演算，以支持基于博弈的语义。
• 证明在量化结构中，公式的值与其关联的模型检测博弈的值一致。
• 证明在量化公平游戏中，获胜区域可在定量μ-演算中被定义。

提出的方法

• 在带有折扣的度量转移系统上定义一个带有数值原子谓词的定量μ-演算。
• 构建公平游戏的量化变体，其中收益通过路径上的乘法折扣计算。
• 通过将每个公式与公式与系统的产品结构上的博弈关联，建立博弈论模型检测过程。
• 通过超限迭代与不动点展开，证明博弈的值与公式的语义一致。
• 在定量μ-演算中定义一个公式 Win_d，用于捕捉具有d个优先级的任意量化公平游戏的值。
• 使用对数变换将量化公平游戏与崩溃游戏（crash games）关联，从而实现现有崩溃游戏求解器的潜在算法复用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过量化公平游戏的变体来表征定量μ-演算的模型检测问题？
• RQ2 定量μ-演算必须满足哪些性质，才能支持具有对偶性与闭包性的基于博弈的语义？
• RQ3 量化公平游戏是否继承了经典公平游戏的位置确定性？
• RQ4 量化公平游戏的值能否在定量μ-演算中表达？
• RQ5 量化公平游戏与其他量化游戏（如崩溃游戏）之间存在何种关系？

主要发现

• 在转移系统上，定量μ-演算中公式的值等于其关联的模型检测博弈的值。
• 量化公平游戏不具备位置确定性，即使在近似意义下也如此，这与经典公平游戏不同。
• 具有d个优先级的量化公平游戏的值，可通过定量μ-演算中的公式 Win_d 定义。
• 基于博弈的方法为定量μ-演算提供了语义与算法基础，扩展了经典对偶性。
• 对数变换可将量化公平游戏映射至崩溃游戏，暗示可复用现有崩溃游戏求解器的算法。
• 定量μ-演算的模型检测博弈构造依赖于不动点逼近的超限迭代，其收敛值即为公式的值。