[论文解读] Model Counting of Query Expressions: Limitations of Propositional Methods

Paul Beame, Jerry Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文首次在概率数据库查询计算中建立了提升推理（lifted inference）与命题模型计数（propositional model counting）之间的形式化分离。论文证明，尽管某些查询可通过扩展查询计算在多项式时间内求值，但基于其线性体（lineage）的最先进的命题模型计数器由于需要处理指数规模的决策-DNNF（decision-DNNF）表示，仍需指数时间。

ABSTRACT

Query evaluation in tuple-independent probabilistic databases is the problem of computing the probability of an answer to a query given independent probabilities of the individual tuples in a database instance. There are two main approaches to this problem: (1) in `grounded inference' one first obtains the lineage for the query and database instance as a Boolean formula, then performs weighted model counting on the lineage (i.e., computes the probability of the lineage given probabilities of its independent Boolean variables); (2) in methods known as `lifted inference' or `extensional query evaluation', one exploits the high-level structure of the query as a first-order formula. Although it is widely believed that lifted inference is strictly more powerful than grounded inference on the lineage alone, no formal separation has previously been shown for query evaluation. In this paper we show such a formal separation for the first time. We exhibit a class of queries for which model counting can be done in polynomial time using extensional query evaluation, whereas the algorithms used in state-of-the-art exact model counters on their lineages provably require exponential time. Our lower bounds on the running times of these exact model counters follow from new exponential size lower bounds on the kinds of d-DNNF representations of the lineages that these model counters (either explicitly or implicitly) produce. Though some of these queries have been studied before, no non-trivial lower bounds on the sizes of these representations for these queries were previously known.

研究动机与目标

• 正式证明在概率数据库查询计算中，提升推理（扩展查询计算）严格强于基元推理（命题模型计数）。
• 识别一类可通过扩展查询计算实现高效计算（tractable）但对命题方法仍为难解（intractable）的查询类别。
• 为这些查询的线性体所生成的决策-DNNF表示建立指数下界。
• 引入DLDDs（决策-逻辑决策图）作为决策-DNNFs的推广，其在保持高效模型计数的同时支持更紧凑的表示。
• 挑战将已知的二分法（如#P难 vs. 多项式时间）推广至基于决策-DNNF的算法，表明需要建立新的二分法理论框架。

提出的方法

• 构造一类具有高层结构的首阶查询，其可通过在查询表达式上应用包含-排除原理实现多项式时间求值。
• 将这些查询展开为布尔线性体，并分析命题模型计数器所需生成的决策-DNNF表示的大小。
• 通过分析查询结构与变量依赖关系，证明这些查询线性体的决策-DNNF表示大小存在指数下界。
• 引入DLDDs（决策-逻辑决策图）作为扩展决策-DNNFs的数据结构，同时保持高效模型计数能力。
• 证明从查询树构造DLDDs的过程保持正确性，并避免了决策-DNNF表示中出现的指数级膨胀。
• 通过将查询树转换为FBDDs（自由二叉决策图）来模拟XOR与EQUIV操作，证明所生成DAG的正确性与无环性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在概率查询计算中，为提升推理与命题模型计数之间建立形式化分离？
• RQ2 是否存在某些查询，其扩展查询计算可在多项式时间内完成，但命题模型计数却需要指数时间？
• RQ3 命题模型计数算法在查询线性体表示大小方面存在哪些固有局限性？
• RQ4 即使查询本身是可高效计算的，其线性体的决策-DNNF表示是否可能比原始查询结构指数级更大？
• RQ5 是否需要为基于决策-DNNF的模型计数建立一个独立于现有#P难分类的新二分法理论？

主要发现

• 本文证明，对于特定查询类，可通过扩展查询计算与包含-排除原理在多项式时间内完成模型计数。
• 最先进的命题模型计数器在这些查询上需要指数时间，原因在于其生成了指数规模的决策-DNNF表示。
• 即使这些查询本身是可高效计算的，其线性体的决策-DNNF表示大小仍存在指数下界。
• 从查询树构造DLDDs可生成大小为拟多项式（quasi-polynomial）的DAG，其正确计算与原始查询线性体相同的布尔函数。
• 从查询树到FBDDs的转换过程保持了无环性与变量顺序约束，确保了正确性并避免了循环。
• 结果表明，尽管这些查询在提升推理下是可高效处理的，但任何基于决策-DNNF的模型计数算法都无法高效处理该类查询。