[论文解读] Model Diagnostics Based on Cumulative Residuals: The R-package gof

Klaus K. Holst|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Advanced Statistical Methods and Models被引用 5

一句话总结

本文介绍了 R 包 gof，该包通过累积残差为广义线性模型（GLMs）、结构方程模型（SEMs）和 Cox 比例风险模型提供客观的、基于模拟的诊断方法。通过利用渐近理论和重采样方法评估线性假设和比例风险假设，该方法为传统主观残差图提供了一种统计上严谨的替代方案，在真实数据集中有效检测出模型误设。

ABSTRACT

The generalized linear model is widely used in all areas of applied statistics and while correct asymptotic inference can be achieved under misspecification of the distributional assumptions, a correctly specified mean structure is crucial to obtain interpretable results. Usually the linearity and functional form of predictors are checked by inspecting various scatter plots of the residuals, however, the subjective task of judging these can be challenging. In this paper we present an implementation of model diagnostics for the generalized linear model as well as structural equation models, based on aggregates of the residuals where the asymptotic behavior under the null is imitated by simulations. A procedure for checking the proportional hazard assumption in the Cox regression is also implemented.

研究动机与目标

• 为解决广泛使用的回归模型（如 GLMs 和 SEMs）在诊断模型假设方面缺乏客观、统计工具的问题。
• 为检验 GLMs 均值结构中的线性关系和函数形式假设，提供一种正式的、基于模拟的方法。
• 将累积残差方法扩展至结构方程模型和 Cox 回归，以评估比例风险假设。
• 提供一种可重复的、基于 R 的模型诊断解决方案，补充现有的主观残差图技术。
• 通过使研究人员能够检测并纠正预测变量函数形式和比例风险假设中的误设，提升模型的有效性。

提出的方法

• 该方法使用关于协变量或预测值的残差累积和，定义为 $ W_j(x) = n^{-1/2} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{x_{ji} \leq x\}} e_i $，以评估模型拟合优度。
• 通过模拟近似这些累积过程的渐近零分布，利用泰勒展开和费雪信息量纳入估计不确定性。
• 检验统计量基于绝对累积残差过程的上确界：$ \mathfrak{T}_{\infty}^{(j)} = \sup_x |W_j(x)| $，类似于柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验。
• 对于 GLMs 和 SEMs，该方法使用 `cumres` 函数计算并绘制累积残差，按预测值或协变量排序。
• 对于 Cox 模型，使用得分过程作为累积残差，以时间为排序变量，以检验比例风险假设。
• 该包通过独立同分布的标准正态随机变量实现参数自举法，以模拟检验统计量的零分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 累积残差能否为广义线性模型中预测变量函数形式的误设提供一种客观的、基于模拟的方法？
• RQ2 累积残差过程如何被调整以评估具有潜变量的结构方程模型中的线性关系？
• RQ3 累积残差在多大程度上能够检测出 Cox 回归模型中比例风险假设的违反？
• RQ4 gof 包能否提供一种可靠且可重复的替代方案，以取代模型诊断中的主观残差图？
• RQ5 在正确模型设定下，累积残差过程的行为如何？在模型误设下又如何不同？

主要发现

• gof 包在模拟的 SEM 中成功检测到模型误设，包括 $ Y_2 $ 的测量模型中存在二次关系，以及 $ X $ 对 $ \eta $ 的非线性影响，这些在累积残差图中均清晰可见。
• 在梅奥诊所 PBC 数据集中，该方法识别出 `protime`（凝血时间）和 `edema` 变量存在显著的比例风险假设违反，表明存在时变效应。
• `protime` 的累积残差过程随时间显示出明显趋势，表明存在非比例风险，该结果通过 gof 检验的模拟 p 值得到证实。
• 该方法在检测 GLMs 和 SEM 中的非线性和错误函数形式方面表现出稳健性能，优于对原始残差的视觉检查。
• 基于模拟的方法能准确近似检验统计量的零分布，即使在真实参数值被估计的情况下，也能实现有效的推断。
• 该包提供灵活的接口，允许用户定义自定义残差和排序变量，从而增强了其在多样化建模情境中的适用性。