[论文解读] Model order reduction methods for geometrically nonlinear structures: a review of nonlinear techniques

Cyril Touzé, Alessandra Vizzaccaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2021

Bladed Disk Vibration Dynamics参考文献 355被引用 208

一句话总结

本文综述了用于几何非线性结构的非线性模型降阶（ROM）技术，重点介绍了基于不变流形的方法，该方法利用非线性映射比线性方法更高效地捕捉复杂耦合。主要贡献是一个统一的框架，采用参数化不变流形——特别是中心流形和慢不变流形——直接从有限元网格中构建精确的、低维的ROM，且无需侵入式修改。

ABSTRACT

This paper aims at reviewing nonlinear methods for model order reduction of structures with geometric nonlinearity, with a special emphasis on the techniques based on invariant manifold theory. Nonlinear methods differ from linear based techniques by their use of a nonlinear mapping instead of adding new vectors to enlarge the projection basis. Invariant manifolds have been first introduced in vibration theory within the context of nonlinear normal modes (NNMs) and have been initially computed from the modal basis, using either a graph representation or a normal form approach to compute mappings and reduced dynamics. These developments are first recalled following a historical perspective, where the main applications were first oriented toward structural models that can be expressed thanks to partial differential equations (PDE). They are then replaced in the more general context of the parametrisation of invariant manifold that allows unifying the approaches. Then the specific case of structures discretized with the finite element method is addressed. Implicit condensation, giving rise to a projection onto a stress manifold, and modal derivatives, used in the framework of the quadratic manifold, are first reviewed. Finally, recent developments allowing direct computation of reduced-order models (ROMs) relying on invariant manifolds theory are detailed. Applicative examples are shown and the extension of the methods to deal with further complications are reviewed. Finally, open problems and future directions are highlighted.

研究动机与目标

• 解决线性降阶模型在捕捉几何非线性结构中强非线性耦合方面的局限性。
• 全面综述非线性模型降阶技术，特别是基于不变流形理论的方法。
• 统一并阐明非线性降阶方法的理论基础，特别是不变流形的参数化方法。
• 在不变流形框架内评估和比较现有技术，如模态导数、隐式凝聚和二次流形。
• 推动采用非线性、基于几何的ROM，以实现复杂非线性结构的高效仿真与设计。

提出的方法

• 以不变流形作为ROM的几何基础，确保轨迹始终被限制在降维空间内。
• 通过正规型理论和图表示法，应用参数化方法计算中心流形和慢不变流形（SSM）。
• 通过非侵入式方法，将有限元（FE）离散化与非线性降阶相结合，直接从FE网格推导ROM。
• 将二次流形和模态导数作为不变流形参数化的特例，以提高计算效率。
• 利用多尺度法和正规型方法，系统地推导不变流形上的降阶动力学。
• 通过离线-在线分解实现非侵入式实现，无需修改现有FE求解器代码即可使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用不变流形理论，为几何非线性结构推导出准确且高效的ROM？
• RQ2 既有的技术（如模态导数和隐式凝聚）与更一般的不变流形框架之间存在何种关系？
• RQ3 非线性映射在捕捉大振幅振动中的非线性耦合方面，为何优于线性基底扩充？
• RQ4 如何以非侵入方式直接从有限元模型计算基于不变流形的ROM？
• RQ5 基于非线性流形的ROM与经典线性或混合方法相比，在计算成本与精度之间存在何种权衡？

主要发现

• 基于不变流形的非线性模型降阶提供了一个几何一致的框架，确保长期动力学始终位于降维空间内。
• 不变流形的参数化将多种技术（如二次流形、模态导数和隐式凝聚）统一于单一理论框架之下。
• 基于不变流形的ROM在较少自由度下即可实现高精度，尤其在捕捉非共振耦合方面优于线性方法。
• 该方法可与现有有限元代码非侵入式集成，保持灵活性和计算效率。
• 近期进展使得可直接从FE网格计算ROM，无需时间积分数据，使该方法实现无仿真化且可扩展。
• 尽管流形计算的计算成本较高，但所得ROM比线性替代方法更具预测性和鲁棒性，尤其在复杂非线性区域中。