[论文解读] Model order reduction of hyperbolic systems at the example of district heating networks

Markus Rein, Jan Möhring+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过利用参数化线性时变（LTV）公式和频域贪婪伽辽金投影，提出了一种针对区域供热管网中双曲微分代数方程（DAE）的稳定且计算高效的降阶模型（ROM）。该方法通过全局能量矩阵确保李雅普诺夫稳定性，并在保持最优控制相关误差范围内的精度的同时，实现相较于全阶模型高达10倍的加速。

ABSTRACT

In this article a framework for the generation of a computationally fast surrogate model for district heating networks is presented. An appropriate model results in an index-1 hyperbolic, differential algebraic equation quadratic in state, exhibiting several hundred of outputs to be approximated. We show the existence of a global energy matrix which fulfills the Lyapunov inequality ensuring stability of the reduced model. By considering algebraic variables as parameters to the dynamical transport, the reduction of a linear, time varying (LTV) problem results. We present a scheme to efficiently combine linear reductions to a global surrogate model using a greedy strategy in the frequency domain. The numerical effectiveness of the scheme is demonstrated at different, existing, large scale networks.

研究动机与目标

• 为具有高维输出的大型区域供热管网建立一个稳定且快速的代理模型，其控制方程为双曲DAE。
• 解决双曲系统中奇异值衰减缓慢及非线性问题对模型降阶（MOR）带来的挑战。
• 通过构造满足李雅普诺夫不等式的全局能量矩阵，确保降阶模型的稳定性和无源性。
• 通过组合网络子结构上的线性降阶，实现在在线仿真中高效支持模型预测控制。
• 在包含流量反转和环状拓扑的复杂真实网络上验证方法的有效性。

提出的方法

• 将区域供热管网建模为具有节点能量守恒代数约束的索引-1双曲DAE。
• 将时变流速视为参数，将每个管道的系统转化为参数化线性时变（LTV）系统。
• 构建一个满足李雅普诺夫不等式的全局能量矩阵Q，以确保降阶模型的稳定性。
• 在频域中应用贪婪算法，采样输入信号并生成最优的降阶基。
• 使用频域快照进行伽辽金投影，为每个子网络构建稳定且低维的ROM。
• 将具有流量反转的复杂网络分解为子网络，仅对流速方向恒定的部分进行降阶，而将流量反转部分保留在全阶形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为区域供热管网中产生的大型双曲DAE构建一个稳定且低维的代理模型？
• RQ2 尽管存在非线性和高维性，如何保证降阶模型的李雅普诺夫稳定性？
• RQ3 能否系统性地推导出一个全局能量矩阵，以确保在整个网络中保持稳定性？
• RQ4 频域贪婪采样策略在以最小降阶维数捕捉系统动态方面有多高效？
• RQ5 该方法在包含环路和流量反转等复杂拓扑的真实网络上的表现如何？

主要发现

• 所提方法在仿真运行时间上相比全阶模型最高可实现10倍加速，同时保持了最优控制相关误差范围内的精度。
• 全局能量矩阵Q满足李雅普诺夫不等式，确保了在所有网络配置下降阶模型的渐近稳定性。
• 在包含32个用户的街道级网络中，降阶模型对样本内和样本外输入均表现出高精度，运行时间与单元格数量的平方根成正比。
• 在包含6个环路和流量反转的大型333用户城市街区网络中，通过隔离流量反转子网络并仅对其他部分进行降阶，该方法成功捕捉了复杂动态。
• 随着空间细化程度的提高，加速比也相应增加，表明在高分辨率下，尤其是刚性且同步的工况下，降阶模型效率更高。
• 贪婪频域采样策略即使在流速方向变化的非线性系统中，也能生成稳定且精确的ROM，在此情境下优于标准MOR技术。