[论文解读] Model Reduction by Rational Interpolation
本文全面综述了大规模线性动态系统插值型模型降阶方法，重点介绍通过有理插值技术实现高效、精确的降阶模型。通过在选定的频率点和参数点处对传递函数进行插值，利用Galerkin投影方法实现$χ}_2$-最优或加权最优近似，并将方法扩展至参数化系统和微分代数系统。
The last two decades have seen major developments in interpolatory methods for model reduction of large-scale linear dynamical systems. Advances of note include the ability to produce (locally) optimal reduced models at modest cost; refined methods for deriving interpolatory reduced models directly from input/output measurements; and extensions for the reduction of parametrized systems. This chapter offers a survey of interpolatory model reduction methods starting from basic principles and ranging up through recent developments that include weighted model reduction and structure-preserving methods based on generalized coprime representations. Our discussion is supported by an assortment of numerical examples.
研究动机与目标
- 为大规模线性动态系统的基于投影的插值型模型降阶方法提供统一的概述。
- 将插值型方法扩展至标准状态空间形式之外，涵盖具有时滞、多项式结构及微分代数方程的系统。
- 提出通过有理插值实现$χ}_2$-最优模型降阶的技术，包括加权和参数化扩展。
- 开发无需依赖内部系统动态的基于数据的框架，仅依赖输入/输出测量。
- 利用广义互质因子分解和在多个频率点与参数点处的参数插值，实现保持结构的模型降阶。
提出的方法
- 通过在选定频率点处对传递函数进行有理插值，利用Galerkin投影构造降阶模型。
- 从系统传递函数及其在插值点处的导数中导出右投影基和左投影基。
- 应用Loewner框架，直接从输入/输出数据构造降阶模型，无需内部系统矩阵。
- 通过在多个参数值处进行插值，将方法扩展至参数化系统，利用双侧投影隐式引入参数梯度。
- 利用广义互质因子分解保持系统结构，实现保持结构的模型降阶。
- 采用秩揭示QR或SVD方法去除投影基中线性相关的列，降低最终降阶模型的维度。
实验结果
研究问题
- RQ1如何将插值型模型降阶方法扩展至具有时滞、多项式结构及微分代数方程的系统？
- RQ2在何种条件下可确保插值型降阶模型达到$χ}_2$最优性或加权$χ}_2$最优性？
- RQ3是否可直接从输入/输出测量构造降阶模型，而无需访问内部系统动态？
- RQ4如何在保持多个参数值下精度的同时，高效地对参数化系统进行降阶？
- RQ5参数梯度在插值过程中的作用是什么？能否在不显式计算梯度的情况下实现匹配？
主要发现
- 通过在选定频率点处匹配传递函数及其导数，该方法实现了$χ}_2$-最优模型降阶，确保了局部最优性。
- 对于参数化系统，通过在多个频率点和参数点处插值，可在无需显式梯度信息的情况下匹配传递函数值、导数及参数梯度。
- 在数值示例中，通过在$s = 1$处匹配传递函数及其导数，并在每个子空间中增加一个向量，即可实现对参数$π = [0.2~{}0.3]^T$处参数梯度的精确匹配。
- 广义互质因子分解的使用可实现保持结构的模型降阶，保持如无源性或稳定性等系统特性。
- Loewner框架可通过直接从输入/输出测量构造降阶模型，实现基于数据的模型降阶，无需状态空间实现。
- 对投影基应用秩揭示技术可在保持精度的同时降低最终降阶模型的维度，尤其适用于基向量线性相关的情况。
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