[论文解读] Model reduction for transport-dominated problems via online adaptive bases and adaptive sampling

Benjamin Peherstorfer|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用 7

一句话总结

本文提出一种用于对流主导问题的在线自适应降模方法，采用局部化、时间自适应的降模基，并结合自适应采样策略以选择全模型评估点。通过利用相干结构在时空上的局域性，该方法在全模型和传统降模方法基础上实现了高达10倍的加速，且在相干结构高度局域化时所需采样点显著减少。

ABSTRACT

This work presents a model reduction approach for problems with coherent structures that propagate over time such as convection-dominated flows and wave-type phenomena. Traditional model reduction methods have difficulties with these transport-dominated problems because propagating coherent structures typically introduce high-dimensional features that require high-dimensional approximation spaces. The approach proposed in this work exploits the locality in space and time of propagating coherent structures to derive efficient reduced models. Full-model solutions are approximated locally in time via local reduced spaces that are adapted with basis updates during time stepping. The basis updates are derived from querying the full model at a few selected spatial coordinates. A core contribution of this work is an adaptive sampling scheme for selecting at which components to query the full model to compute basis updates. The presented analysis shows that, in probability, the more local the coherent structure is in space, the fewer full-model samples are required to adapt the reduced basis with the proposed adaptive sampling scheme. Numerical results on benchmark examples with interacting wave-type structures and time-varying transport speeds and on a model combustor of a single-element rocket engine demonstrate the wide applicability of the proposed approach and runtime speedups of up to one order of magnitude compared to full models and traditional reduced models.

研究动机与目标

• 解决对流主导问题（如对流占优流场和波现象）的模型降阶挑战，传统降模方法因高Kolmogorov n-宽度而失效。
• 通过实现在线基自适应，克服静态降模空间的局限性，以追踪随时间演化的相干结构。
• 开发一种自适应采样策略，高效选择用于查询全模型以计算基更新的空间点。
• 在具有时变系数、非线性动力学和不同传输速度的问题中，验证该方法的鲁棒性与高效性。
• 在基准问题与真实世界燃烧问题中，实现相对于全阶模型和传统静态降模方法的显著计算加速。

提出的方法

• 通过在选定空间点处对全模型进行评估，利用低秩基更新构建随时间自适应的局部降模空间。
• 采用自适应采样策略，确定需查询全模型的哪些组件以进行基更新，从而在保持精度的同时最小化采样成本。
• 应用离散的本征小波插值方法（DEIM）处理降模中的非线性项，实现高效的在线计算。
• 在每个时间步（或每隔几个时间步）更新降模基，以追踪传播的相干结构，确保局部精度。
• 利用残差的空间局域性，减少所需全模型采样点的数量，理论证明了相干性衰减与采样效率之间的关联。
• 实现一种在线、隐式参数化的模型，无需离线阶段，可实时适应参数变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效将模型降阶应用于传统降模方法因高维解特征而失效的对流主导问题？
• RQ2 相干结构的空间局域性与所需全模型采样点数量之间存在何种关系？
• RQ3 与均匀采样相比，自适应采样策略能否显著减少准确基更新所需的全模型评估次数？
• RQ4 在具有时变动力学的问题中，所提出的在线自适应基方法在精度与运行时间上相较于全阶模型和静态降模方法表现如何？
• RQ5 该方法在导致解行为显著不同的不同参数区域中，其鲁棒性达到何种程度？

主要发现

• 在数值实验中，所提出的AADEIM方法在全阶模型上实现了高达10倍的加速，包括火箭燃烧室模型。
• 在具有时变传输速度的基准波问题中，AADEIM模型相比全模型实现了约6倍的加速。
• 在相同设置下，静态降模方法比全模型还慢，凸显了固定离线基在对流主导问题中的低效性。
• 仅需每个自由度50个采样点，自适应采样策略即可实现约10⁻⁴的误差，而均匀采样至少需要175个点才能达到10⁻²的误差。
• 该方法在广泛参数域内表现出鲁棒性，即使解行为随参数显著变化，仍能保持低误差与高加速比。
• 理论分析证实，残差中局域相干性衰减越快，所需采样点越少，验证了自适应采样策略的高效性。