[论文解读] Model reduction of a parametrized scalar hyperbolic conservation law using displacement interpolation

Donsub Rim, Kyle T. Mandli|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于Wasserstein度量框架中位移插值的参数化标量双曲守恒律模型降阶技术。通过利用单调重排导出的平移映射构建局部基函数，该方法以高精度捕捉解的动力学行为，从而实现对含激波的参数化Burgers方程等问题的高效不确定性量化（UQ）。

ABSTRACT

We propose a model reduction technique for parametrized partial differential equations arising from scalar hyperbolic conservation laws. The key idea of the technique is to construct basis functions that are local in parameter and time space via displacement interpolation. The construction is motivated by the observation that the derivative of solutions to hyperbolic conservation laws satisfy a contractive property with respect to the Wasserstein metric [Bolley et al. J. Hyperbolic Differ. Equ. 02 (2005), pp. 91-107]. We will discuss the approximation properties of the displacement interpolation, and show that it can naturally complement linear interpolation. Numerical experiments illustrate that we can successfully achieve the model reduction of a parametrized Burgers' equation, and that the reduced order model is suitable for performing typical tasks in uncertainty quantification.

研究动机与目标

• 解决双曲守恒律中Kolmogorov N-宽度衰减缓慢的问题，该问题阻碍了基于全局低秩近似的传统降阶模型（ROM）的应用。
• 克服标准投影型ROM在双曲问题中失效的局限性，原因在于解在不同参数和时间下空间位置的集中性变化。
• 在参数-时间空间中构建局部基函数，避免在线自适应过程或额外的高保真模型查询。
• 实现可靠的不确定性量化（UQ）任务，如均值与方差估计、激波特性和高度分析，以及对不连续解的代理建模。
• 建立一个理论与计算框架，利用最优传输结构——特别是位移插值——用于标量双曲系统中的ROM构建。

提出的方法

• 将参数-时间空间离散化为满足签名条件的三角形网格，以确保插值的稳定性。
• 基于单调重排（Monge-Kantorovich问题的解）使用位移插值计算1D中解快照之间的平移映射。
• 通过位移映射插值解态来构建局部基函数，其逼近性能优于线性插值。
• 通过将参数化PDE（Burgers方程）投影到位移插值基上，并采用Galerkin投影来构建降阶模型。
• 应用标准的降维方法（如POD）进一步压缩基函数，降低计算成本。
• 利用式（5.13）中的解相关变量变换，提升在线阶段Galerkin更新的稳定性和精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Wasserstein度量中使用位移插值是否能比标准线性或POD基方法更有效地构建双曲守恒律的基函数？
• RQ2 基于平移映射的局部基与全局基方法相比，在参数化双曲PDE的逼近精度和收敛性方面表现如何？
• RQ3 该降阶模型在多大程度上能准确表示随参数变化的激波特性和传播行为，如激波特性和高度？
• RQ4 位移插值框架能否支持不确定性量化任务，如解的感兴趣量的均值、方差和联合密度估计？
• RQ5 尽管解具有不连续性，激波特性的位置是否仍为参数的光滑函数，且该特性能否被ROM有效捕捉？

主要发现

• 位移插值方法在参数化Burgers方程上实现了高精度的模型降阶，降阶模型成功捕捉了不同参数下激波的形成与传播。
• 该方法实现了对解的均值与方差的精确估计，其中大方差集中于激波附近，反映出激波特性的位置对参数变化的高度敏感性。
• 激波特性和激波特性的高度被发现是参数μ₁和μ₂的光滑函数，因此可使用五阶多项式回归实现精确的代理建模。
• 联合核密度估计揭示，对于小而慢的激波，激波特性和高度之间存在强相关性，而对于大而快的激波，这种相关性减弱。
• 位移插值框架在逼近性能上优于线性插值，尤其在捕捉非线性与不连续解特征方面表现更优。
• 所得到的ROM成功应用于蒙特卡洛采样与UQ任务，证实其在双曲PDE不确定性量化中的实际适用性。