[论文解读] Model sets with positive entropy in Euclidean cut and project schemes

Tobias Jäger, Daniel Lenz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文通过截断与投影方案构建了欧几里得模型集，其关联的Delone动力系统表现出正拓扑熵，即使窗集的内部为空。利用概率与确定性构造方法，表明熵与窗集的边界测度成正比，首次在欧几里得设定下提供了此类具有正熵的模型集示例。

ABSTRACT

We construct model sets arising from cut and project schemes in Euclidean spaces whose associated Delone dynamical systems have positive toplogical entropy. The construction works both with windows that are proper and with windows that have empty interior. In a probabilistic construction, the entropy almost surely turns out to be proportional to the measure of the boundary of the window.

研究动机与目标

• 通过截断与投影方案在欧几里得空间中构造具有其动力系统正拓扑熵的模型集。
• 证明即使窗集内部为空，此类正熵仍可出现，挑战了‘规则性意味着零熵’的假设。
• 建立窗集几何复杂性（特别是其边界测度）与系统动力混沌之间的联系。
• 通过引入准晶与非晶构型之间的中间模型，拓展对非周期序的理解。

提出的方法

• 在欧几里得空间中利用格点 L ⊆ G×H 及窗集 W⊆H，通过截断与投影方案（CPS）构造模型集。
• 将模型集定义为 Λ = π_G(L ∩ (G×W))，其中 L 是格点在 G 上的投影。
• 采用概率构造方法，随机生成窗集，证明几乎必然地，熵与窗集的边界测度成正比。
• 利用内部空间中集合的度量独立性，将全移位嵌入壳层，从而蕴含正熵。
• 通过从 L* 中点周围移除收缩邻域的确定性构造方法，形成类似康托集的 C₀，并粘贴局部独立集合。
• 通过修改构造方法以保持拓扑独立性与边界复杂性，将结果推广至高维内部群 H。

实验结果

研究问题

• RQ1 在欧几里得截断与投影方案中，窗集内部为空时，模型集是否仍可表现出正拓扑熵？
• RQ2 窗集的边界测度与关联的Delone动力系统的拓扑熵之间存在何种关系？
• RQ3 窗集的概率构造是否可产生几乎必然具有正熵的模型集？
• RQ4 厚边界或非平凡边界结构的存在如何影响动力谱与熵？
• RQ5 此类构造能否推广至高维内部群，同时保持正熵？

主要发现

• 该论文在欧几里得截断与投影方案中构造了具有正拓扑熵的模型集，首次在该设定下提供了此类示例。
• 对于随机生成的窗集，拓扑熵几乎必然与窗集边界的哈尔测度成正比。
• 即使窗集内部为空，其关联的Delone动力系统仍可具有正拓扑熵，原因在于壳层中嵌入了全移位。
• 该构造依赖于内部空间中集合的度量独立性，从而确保对窗集的几乎所有平移，壳层中均存在全移位。
• 结果可推广至高维内部群 H，类似构造可产生具有正熵的模型集。
• 当窗集内部为空时，动力系统并非唯一遍历，因为壳层包含空集，因而缺乏正则模型集的规则性。