[论文解读] Modeling and estimation of conditional excesses

Anne‐Laure Fougères, Philippe Soulier|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2008

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用 2

一句话总结

本文提出了一种统计框架，通过建模 (X,Y) 给定 X > t 的极限条件分布，来估计二元极值中的条件超额。该框架使用归一化估计量对极限分布和归一化函数进行估计，并建立了相合性及功能中心极限定理，从而实现对高维尾部区域中极端条件分位数的可靠推断。

ABSTRACT

Let $(X,Y)$ be a bivariate random vector. The estimation of a probability of the form $P(Y\leq y \mid X >t) $ is challenging when $t$ is large, and a fruitful approach consists in studying, if it exists, the limiting conditional distribution of the random vector $(X,Y)$, suitably normalized, given that $X$ is large. There already exists a wide literature on bivariate models for which this limiting distribution exists. In this paper, a statistical analysis of this problem is done. Estimators of the limiting distribution (which is assumed to exist) and the normalizing functions are provided, as well as an estimator of the conditional quantile function when the conditioning event is extreme. Consistency of the estimators is proved and a functional central limit theorem for the estimator of the limiting distribution is obtained. The small sample behavior of the estimator of the conditional quantile function is illustrated through simulations.

研究动机与目标

• 解决当 t 较大时，特别是在极端尾部分布区域中，估计 P(Y ≤ y | X > t) 的挑战。
• 在适当的归一化下，为 (X,Y) 给定 X > t 的极限条件分布开发一致估计量。
• 在极端条件事件下，构建条件分位数函数的估计量。
• 为所提出的估计量建立理论保证，包括相合性和功能中心极限定理。

提出的方法

• 提出一种非参数方法，用于估计 (X,Y) 给定 X > t 的极限条件分布，假设其存在。
• 利用经验分布函数和极值理论，引入对归一化函数和极限分布的估计量。
• 应用功能中心极限定理，推导估计极限分布过程的渐近分布。
• 基于估计的极限分布，开发一种适用于 X 的极端值的条件分位数函数估计量。
• 使用经验过程理论和弱收敛技术，证明估计量的相合性和渐近正态性。
• 通过蒙特卡洛模拟验证条件分位数估计量的小样本性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 t 较大时，如何一致地估计 (X,Y) 给定 X > t 的极限条件分布？
• RQ2 所提出的极限分布估计量的理论性质（如相合性和渐近正态性）是什么？
• RQ3 在 X > t 的极端尾部分布区域中，如何可靠地估计条件分位数函数？
• RQ4 在极端条件下的有限样本中，条件分位数估计量的行为如何？
• RQ5 归一化函数与极限分布之间如何相互作用，以确保极值建模中有效推断？

主要发现

• 在所假设的模型结构下，所提出的极限条件分布和归一化函数的估计量具有相合性。
• 为极限分布估计量建立了功能中心极限定理，从而支持对整个条件分布函数的推断。
• 条件分位数函数估计量具有一致性，并且在模拟中表现出稳定的有限样本性能。
• 理论框架支持在直接估计不可行的极端尾部分布区域中进行有效统计推断。
• 模拟研究证实，即使在中等样本量下，条件分位数估计量仍能保持合理的准确性。