[论文解读] Modeling financial assets without semimartingales

Rosanna Coviello, Francesco Russo|ArXiv.org|Jun 26, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文提出了一套金融建模框架，用广义的鞅概念——A-鞅——取代了传统的半鞅假设，使得在受限交易策略下，价格过程可为非半鞅。通过使用前向积分和A-鞅微积分，作者建立了内幕交易者进行效用最大化的条件，表明即使价格过程不具备半鞅性质，最优投资组合依然存在，尤其是在有界变差或分数布朗运动动态下。

ABSTRACT

This paper does not suppose a priori that the evolution of the price of a financial asset is a semimartingale. Since possible strategies of investors are self-financing, previous prices are forced to be finite quadratic variation processes. The non-arbitrage property is not excluded if the class ${\cal A}$ of admissible strategies is restricted. The classical notion of martingale is replaced with the notion of ${\cal A}$-martingale. A calculus related to ${\cal A}$-martingales with some examples is developed. Some applications to the maximization of the utility of an insider are expanded.

研究动机与目标

• 开发一种不假设价格过程为半鞅的金融理论。
• 在受限策略类别下，用A-鞅替代经典鞅概念。
• 在具有非半鞅动态的市场中，建立无套利和效用最大化的条件。
• 分析在非半鞅价格过程中内幕交易与效用最大化的实现。
• 将现有效用最大化结果推广至超越半鞅假设的范围。

提出的方法

• 在非半鞅环境下，引入A-鞅作为经典鞅的替代。
• 使用前向积分（记为 ∫ Y d−X）来定义自融资投资组合。
• 通过正则化和前向积分应用随机微积分，以处理非半鞅的积分器。
• 对可接受策略（A类）施加限制，以排除套利，而无需依赖半鞅性质。
• 通过A+-鞅和G-布朗运动表征，推导最优投资组合的必要与充分条件。
• 利用测度变换 Qπ 和 pπ = EQπ[dP/dQπ | G·] 分析不同概率测度下的期望效用。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设价格过程为半鞅的前提下，实现无套利定价与效用最大化？
• RQ2 在 S 不是半鞅时，策略类 A 的何种条件可确保无套利？
• RQ3 当价格过程为有限二次变差过程（如分数布朗运动）时，如何表征效用最大化？
• RQ4 在非半鞅市场中，具备非对称信息的内幕交易者在何种条件下存在最优投资组合？
• RQ5 当策略类受限时，是否可以绕过经典结论（即有限期望效用蕴含半鞅性质）？

主要发现

• 在假设 5.32 成立下，当且仅当 A−V −∫₀· πtd[A]t 是 Qπ 下的 A+-鞅时，A+ 中存在最优投资组合。
• 对于对数效用函数，测度 Qπ 与 P 重合，从而简化了鞅条件。
• 若 A+ 满足假设 D，则 π 为最优当且仅当 A−V −∫₀· βtd[A]t 是 P 下的 G-鞅，其中 β 由 pπ 和 d[pπ,A]/d[A] 定义。
• 在几何分数布朗运动的示例中，π 为最优当且仅当 W −∫₀· (rt−μt)/σ + πtσ dt 是 Qπ 下的 A+-鞅。
• 若 π 为最优，则过程 fW = W −∫₀· αtdt 是 P 下的 G-布朗运动，其中 α 涉及 πσ 和漂移校正项。
• 最优投资组合 π 的存在性等价于 h(·,L) + ∫₀· (μ−r)/σ dt 属于 Θ(L)，该结果推广了 [18] 中的已有结论，并表明 W 的 A+-半鞅性质是关键。