[论文解读] Modeling Linear Inequality Constraints in Quadratic Binary Optimization for Variational Quantum Eigensolver

Miguel Paredes Quiñones, Catarina Junqueira|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文为变分量子牛顿法（VQE）提出定制化变分形式（TVFs），将线性等式与不等式约束直接嵌入量子线路，确保仅探索可行解。通过受控旋转和纠缠结构编码约束，TVFs 保持参数数量恒定，与问题规模无关，从而降低线路深度并提升收敛速度——在设施选址与线性分配问题上的实验表明，其所需门数更少、优化速度更快，优于 2-Local 和 QAOA 方法。

ABSTRACT

This paper introduces the use of tailored variational forms for variational quantum eigensolver that have properties of representing certain constraints on the search domain of a linear constrained quadratic binary optimization problem solution. Four constraints that usually appear in several optimization problems are modeled. The main advantage of the proposed methodology is that the number of parameters on the variational form remain constant and depend on the number of variables that appear on the constraints. Moreover, this variational form always produces feasible solutions for the represented constraints differing from penalization techniques commonly used to translate constrained problems into unconstrained one. The methodology is implemented in a real quantum computer for two known optimization problems: the Facility Location Problem and the Set Packing Problem. The results obtained for this two problems with VQE using 2-Local variational form and a general QAOA implementation are compared, and indicate that less quantum gates and parameters were used, leading to a faster convergence.

研究动机与目标

• 为在近期量子计算机上高效求解线性约束二次二值优化（LCQBO）问题提供支持。
• 通过仅将搜索空间限制在可行解上，降低 VQE 中经典优化的计算成本。
• 开发内在满足约束的变分形式，避免使用可能导致不可行解的惩罚方法。
• 与标准 VQE 电路（如 2-Local 和 QAOA）相比，展示更快的收敛速度和更低的线路深度。
• 提供一种系统化方法，用于构建将特定类型线性约束（等式与不等式）直接编码到电路结构中的量子线路。

提出的方法

• 作者设计了定制化变分形式（TVFs），将四种常见约束类型——等式、不等式及其组合——直接嵌入量子线路结构中。
• 对于等式约束，采用受控-Ry 旋转和 CNOT 门，对量子比特组施加求和为一的条件，确保仅生成有效组合。
• 对于不等式约束，通过递归构建受控旋转与纠缠门，表示变量和的上界，从而在整个线路中保持可行性。
• 通过复用固定深度的旋转与纠缠门模块，确保每类约束的参数数量恒定，与变量数量无关。
• TVF 采用两阶段构建过程：首先将量子比特初始化为 |0⟩，然后应用 Ry(θ) 旋转，再通过 CNOT 门实现纠缠，使构造方式符合约束边界。
• 该方法在两个基准问题——设施选址与线性分配问题上进行了验证，使用真实量子硬件，并与 2-Local 和 QAOA 电路进行了对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计出在 LCQBO 问题中天然满足线性等式与不等式约束的变分量子线路？
• RQ2 与基于惩罚的方法相比，将约束直接嵌入变分形式是否能减少参数数量与量子门数？
• RQ3 是否可以通过约束感知的变分形式，使 VQE 优化的收敛速度优于通用型变分形式（如 2-Local 或 QAOA）？
• RQ4 与标准变分形式相比，使用定制化变分形式在电路深度与参数数量之间存在何种权衡？
• RQ5 是否存在一种系统化方法，可组合多个约束编码模块以处理复杂的 LCQBO 问题？

主要发现

• TVF 方法通过构造确保所有生成解均为可行解，而惩罚方法可能收敛至不可行解。
• 在线性分配问题中，TVF 仅需 4 个参数、6 个单量子比特旋转（SU(2)）和 4 个 CNOT 门，优于 2-Local（8 个参数、14 个 SU(2)、3 个 CNOT 门）和 QAOA（4 个参数、24 个 SU(2)、8 个 CNOT 门）。
• TVF 在 COBYLA 优化下仅用 45 次迭代收敛，而 QAOA 和 2-Local 均收敛至不可行解，如概率直方图与目标函数演化所示。
• TVF 在 LAP 实例中达到最优目标值 15，与经典最优解一致，而其他方法未能达到可行性。
• TVF 所用总门数与参数数均少于 QAOA，且与 2-Local 相比具有相当或更优的成本效率（总成本 46 vs. 2-Local 的 44）。
• 该方法表明，约束感知的变分形式设计可显著减轻希尔伯特空间探索负担，提升经典优化效率。