[论文解读] Modeling shallow water waves

David Lannes|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jan 27, 2020

Coastal and Marine Dynamics被引用 6

一句话总结

本文通过分析垂直积分的欧拉方程中的湍流压力项和非静力压力项，提出了一种统一的渐近推导方法，推导出浅水波模型，包括非线性浅水方程、Boussinesq方程和Serre-Green-Naghdi方程。该研究将这些模型扩展至包含涡度效应和非平坦地形，提出了多层系统和旋转流的新公式，应用于波破碎和强流相互作用问题。

ABSTRACT

We review here the derivation of many of the most important models that appear in the literature (mainly in coastal oceanography) for the description of waves in shallow water. We show that these models can be obtained using various asymptotic expansions of the "turbulent" and non-hydrostatic terms that appear in the equations that result from the vertical integration of the free surface Euler equations. Among these models are the well-known nonlinear shallow water (NSW), Boussinesq and Serre-Green-Naghdi (SGN) equations for which we review several pending open problems. More recent models such as the multi-layer NSW or SGN systems, as well as the Isobe-Kakinuma equations are also reviewed under a unified formalism that should simplify comparisons. We also comment on the scalar versions of the various shallow water systems which can be used to describe unidirectional waves in horizontal dimension $d=1$; among them are the KdV, BBM, Camassa-Holm and Whitham equations. Finally, we show how to take vorticity effects into account in shallow water modeling, with specific focus on the behavior of the turbulent terms. As examples of challenges that go beyond the present scope of mathematical justification, we review recent works using shallow water models with vorticity to describe wave breaking, and also derive models for the propagation of shallow water waves over strong currents.

研究动机与目标

• 提供海岸海洋学中使用的主流浅水波模型的系统化和统一推导。
• 将经典模型（如NSW、Boussinesq、SGN）扩展至包含涡度和非平坦地形，以提高物理真实性。
• 解决非线性色散系统中波破碎、边界条件和奇点形成等开放性数学问题。
• 提出新型多层模型和Isobe-Kakinuma型模型，降低数值复杂度并提升垂直分辨率。
• 探讨涡度在波浪动力学中的作用，特别是在波破碎和强流上波浪传播建模中的影响。

提出的方法

• 从自由表面欧拉方程出发，通过垂直积分推导水波方程，识别湍流压力项和非静力压力项。
• 在浅水区域（小纵横比μ）应用渐近展开，系统地推导近似模型。
• 利用弱非线性（ε ≪ 1）和高阶展开，推导包含色散效应的Boussinesq和Serre-Green-Naghdi模型。
• 引入多层公式，以更好地捕捉垂直速度和压力结构，而无需高阶导数。
• 通过底部坡度β和深度相关修正项，将公式推广至非平坦地形。
• 通过涡度强度参数α引入涡度，特别处理α = 1/2的情况以模拟强旋转效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于湍流和非静力压力项，从统一的渐近框架中推导出完整的浅水波模型？
• RQ2 在非线性浅水和Boussinesq型模型中引入涡度的数学与物理含义是什么？
• RQ3 地形变化如何影响浅水模型的推导与结构，特别是在Serre-Green-Naghdi和多层模型中的表现？
• RQ4 标量模型（如KdV、Camassa-Holm）在描述单向波传播方面的局限性与潜力是什么？
• RQ5 包含涡度的旋转浅水模型能否为波破碎现象提供数学上合理的框架？

主要发现

• 当忽略湍流压力项和非静力压力项时，非线性浅水（NSW）方程作为主导阶近似出现。
• 在弱非线性条件下推导出Boussinesq系统，通过特定的非静力压力修正项保留色散效应。
• Serre-Green-Naghdi（SGN）模型在不假设弱非线性的情况下获得，可捕捉更高阶的色散和非线性效应。
• NSW和SGN模型的多层扩展版本在垂直分辨率方面优于高阶单层模型，且数值刚性更低。
• 证明Isobe-Kakinuma模型是一种可行的替代方案，在不引入高阶导数的前提下提升了精度。
• 通过涡度强度参数α引入涡度效应，当α = 1/2时，其特有的量纲缩放可捕捉强旋转流和波破碎动力学。