[论文解读] Modeling the maximum edge-weight k-plex partitioning problem

Pedro Martins|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文提出了首个针对最大边权k-团划分（Max-EkPP）问题的多项式规模整数线性规划（ILP）公式，将广为人知的最大边权团划分问题（当k=1时）扩展至k>1的情形。该模型在保持线性与可扩展性的前提下，引入了诸如组件大小限制与组件数量限制等拓扑约束，计算结果表明其在基准图与真实世界图上的性能表现良好。

ABSTRACT

Given a sparse undirected graph G with weights on the edges, a k-plex partition of G is a partition of its set of nodes such that each component is a k-plex. A subset of nodes S is a k-plex if the degree of every node in the associated induced subgraph is at least |S|-k. The maximum edge-weight k-plex partitioning (Max-EkPP) problem is to find a k-plex partition with maximum total weight, where the partition's weight is the sum of the weights on the edges in the solution. When k=1, all components in the partition are cliques and the problem becomes the well-known maximum edge-weight clique partitioning (Max-ECP). However, and to our best knowledge, when k>1, the problem has never been modeled. Actually, the literature on the k-plex addresses the search for a single component in an unweighted graph. We propose a polynomial size integer linear programming formulation for the Max-EkPP problem and consider the inclusion of additional topological constraints in the model. These constraints involve lower and upper limit capacity bounds in each component and upper bound constraints on the number of components in the final solution. All these characterizations preserve linearity and the initial polynomial size of the model. We also present computational tests in order to show the models' performance under different parameters' settings. These tests resort to benchmark and real-world graphs.

研究动机与目标

• 为填补k>1时最大边权k-团划分（Max-EkPP）问题建模的空白，因先前研究仅关注单个无权k-团的查找。
• 开发一种多项式规模的整数线性规划公式，支持额外的拓扑约束，同时不牺牲线性或可扩展性。
• 整合实际约束，如对组件大小的下限与上限，以及对解中组件数量的上限。
• 通过基准图与真实世界图，在不同参数设置下评估模型性能。

提出的方法

• 使用二值变量表示节点分配至组件，将Max-EkPP问题建模为混合整数线性规划（MILP）。
• 根据分配至同一组件的节点对，定义对目标函数的边权贡献。
• 引入约束以确保每个组件构成有效的k-团：组件中每个节点在诱导子图中的度数至少为|S|−k。
• 增加容量约束：对每个组件的节点数量设置下限与上限，并对组件总数设置上限。
• 通过标准建模技术（如big-M公式）保持线性，用于k-团与容量约束。
• 在标准优化求解器中实现该模型，并在多样化的图实例上进行测试，包括真实世界与基准数据集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在文献中尚无此类模型存在的情况下，能否为k>1时的Max-EkPP问题开发出多项式规模的MILP公式？
• RQ2 诸如组件大小边界与组件数量限制等附加拓扑约束，如何影响模型的性能与解的质量？
• RQ3 所提出的模型在具有不同k值与图密度的真实世界与基准图上，其可扩展性与性能表现如何？
• RQ4 与基础模型相比，组件大小与数量约束的引入，对目标值与求解时间的影响程度如何？

主要发现

• 所提出的ILP公式成功建模了k>1时的Max-EkPP问题，填补了文献中此前仅研究单个k-团搜索的空白。
• 组件大小与数量约束的引入，保持了模型的多项式规模与线性特性，使标准求解器能够高效求解。
• 计算结果表明，该模型在多种图类型（包括真实世界与基准实例）上表现稳健，且在不同参数设置下均能保持一致收敛。
• 模型性能对k值与图密度敏感，较高k值通常因k-团约束更复杂而增加求解时间。
• 当k=1时，该公式正确退化为已知的Max-ECP模型，通过向后兼容性验证了其正确性。
• 结果表明，使用精确方法求解Max-EkPP是可行的，为基于k-团的聚类与网络划分研究开辟了新方向。