[论文解读] Modelling and analysis of fractional-order regulated systems in the state space
本文提出了一种分数阶受控系统的新型状态空间公式，实现了对具有整数阶与分数阶导数混合的系统进行建模与稳定性分析。通过使用柯巴托导数将一个三元分数阶微分方程重新表述为状态空间模型，作者通过数值仿真展示了系统的稳定与不稳定行为，验证了该方法在分数阶控制系统设计中的准确性与实用性。
In this paper we present the mathematical description and analysis of a fractional-order regulated system in the state space. A little historical background of our results in the analysis and synthesis of the fractional-order dynamical regulated systems is given. The methods and results of simulations of the fractional-order system described by a state space equation equivalent to three-member fractional-order differential equation with a fractional-order $PD^δ$ regulator are then presented. The possibility of investigating the stability of such systems is also considered.
研究动机与目标
- 开发一种用于在状态空间中建模分数阶受控系统的数学框架，将经典控制理论扩展至非整数阶动力学。
- 解决传统整数阶模型在表征本质上具有分数阶行为的现实系统时的局限性。
- 通过包含多个分数阶导数的状态空间表示，实现对分数阶系统的稳定性分析与仿真。
- 通过与现有迭代方法比较的数值仿真，验证所提模型的准确性，并展示其稳定性特征。
- 为未来基于状态空间分析技术的分数阶控制器综合提供基础。
提出的方法
- 使用柯巴托分数阶导数构建状态空间模型，以表示具有混合阶导数（α, β, δ）的分数阶系统，其中 α = 2.2，β = 0.9，δ = 1.15。
- 通过引入状态变量 x₁(t) = y(t)，x₂(t) = y′(t)，将原始分数阶微分方程（1）转化为状态空间表示（方程4），并用状态变量表达高阶分数阶导数。
- 在状态空间模型中应用格鲁恩瓦尔德-莱特尼科夫近似法进行分数阶导数的数值计算，确保非迭代且稳定的数值积分。
- 对一阶导数采用欧拉法进行时间离散化，而分数阶导数则通过先前研究[9, 10, 15, 17, 18]中的递归数值方案计算。
- 引入稳定性度量 Sₜ = -1.5 和 Tₗ = 0.37，基于频域分析与阻尼特性量化系统稳定性。
- 将所提状态空间模型的单位阶跃响应与状态轨迹，与经典迭代数值解的结果进行比较，确认其一致性与准确性。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在状态空间框架中准确表示具有混合阶导数的分数阶受控系统？
- RQ2与传统整数阶模型相比，使用状态空间模型分析分数阶系统稳定性具有何种影响？
- RQ3所提出的状态空间公式在控制器参数变化时，能否重现已知的动力学行为，如稳定与不稳定的焦点？
- RQ4状态空间模型中分数阶导数的数值实现如何影响仿真精度与收敛性？
- RQ5状态空间模型在多大程度上保持了原始分数阶微分方程的物理与动力学特性？
主要发现
- 所提状态空间模型成功表征了具有混合阶导数（α=2.2，β=0.9，δ=1.15）的分数阶系统，实现了仿真与稳定性分析。
- 数值仿真结果表明，当 Tₚ = 3.7343 时，系统表现出稳定焦点，其稳定性度量 Sₜ = -1.5，阻尼度量 Tₗ = 0.37。
- 当微分增益降低至 Tₚ = 0.7343 时，系统转变为不稳定焦点，表明稳定性对控制器参数具有高度敏感性。
- 状态空间模型的单位阶跃响应与状态轨迹与经典迭代数值方法所得结果高度一致，验证了其准确性。
- 该模型可通过微分静态方程直接计算平衡点，而整数阶系统则依赖代数方程，体现了其优势。
- 结果证实，在分数阶系统上使用整数阶调节器可能导致不稳定，进一步强调了采用分数阶控制设计的必要性。
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