[论文解读] Modelling multivariate extreme value distributions via Markov trees

Shuang Hu, Zuoxiang Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2022

Hydrology and Drought Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于二元极值分布的树状马尔可夫随机场模型，用于近似高维多变量极值分布，利用尾部依赖系数结合普里姆算法学习树结构。该方法可高效推断罕见事件概率，在多瑙河上游径流数据上得到验证，对洪水概率的估计优于经验值。

ABSTRACT

Multivariate extreme value distributions are a common choice for modelling multivariate extremes. In high dimensions, however, the construction of flexible and parsimonious models is challenging. We propose to combine bivariate max-stable distributions into a Markov random field with respect to a tree. Although in general not max-stable itself, this Markov tree is attracted by a multivariate max-stable distribution. The latter serves as a tree-based approximation to an unknown max-stable distribution with the given bivariate distributions as margins. Given data, we learn an appropriate tree structure by Prim's algorithm with estimated pairwise upper tail dependence coefficients as edge weights. The distributions of pairs of connected variables can be fitted in various ways. The resulting tree-structured max-stable distribution allows for inference on rare event probabilities, as illustrated on river discharge data from the upper Danube basin.

研究动机与目标

• 为解决构建高维多变量极值分布灵活且简洁模型的挑战。
• 通过马尔可夫树结构，开发对未知多变量极值分布的可处理近似。
• 在复杂高维依赖结构中，实现对罕见事件概率的高效推断。
• 通过基于尾部依赖度量的数据学习，将图模型与极值理论相结合，构建树结构。
• 在多瑙河上游流域的真实水文数据上，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 使用二元极值分布作为条件分布，在树结构上构建马尔可夫随机场。
• 利用基于估计的上尾部依赖系数或肯德尔等级相关系数的边权重，通过普里姆算法学习最优树结构。
• 对相连的配对使用矩估计、M-估计或k=65的加权最小二乘法拟合二元Hüsler–Reiss分布。
• 通过广义帕累托分布（GPD）拟合高阈值以上的超额部分（p=0.9），估计边缘尾部概率。
• 将完整的多变量极值分布近似为马尔可夫树的极限形式，从而实现对联合尾部事件的推断。
• 利用所得模型计算并比较罕见事件（如多个站点同时发生洪水）的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于二元极值分布的树状马尔可夫随机场能否有效近似高维多变量极值分布？
• RQ2 基于估计尾部依赖系数（通过肯德尔等级相关系数或上尾部依赖）的模型在多大程度上能捕捉极端事件的真实依赖结构？
• RQ3 与经验估计相比，该树状模型在多大程度上改善了罕见事件概率的估计？
• RQ4 不同的拟合方法（矩估计、M-估计、WLS）对最终极值模型的准确性有何影响？
• RQ5 该方法能否有效应用于真实水文数据，以预测河流网络中的联合洪水事件？

主要发现

• 该树状模型始终高估经验洪水概率，对于第4、7和13号站点在0.95分位数下，估计值在9.26%至9.72%之间，高于经验值8.44%。
• 在0.99分位数下，模型估计值为2.53%至2.65%，超过经验值1.88%，表明对联合极端事件的检测能力有所提升。
• 基于GPD的边缘估计显示出更高的尾部概率（例如，第13号站点在0.999分位数下为7.02%），导致联合尾部概率被高估。
• 基于肯德尔等级相关系数的模型（树 $ ilde{ au}^*$）估计值略低于基于上尾部依赖的树 ($ ilde{ au}^*$)，表明对依赖度量选择较为敏感。
• 使用多种拟合估计器（MM、M、WLS）得到的结果几乎完全一致，表明在Hüsler–Reiss框架内，模型对估计方法具有鲁棒性。
• 该方法成功捕捉了高维径流数据中复杂的联合尾部分布行为，展示了在洪水风险评估中的实际应用价值。