[论文解读] Models of expansions of N with no end extensions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文使用生物体力迫（creature forcing）构造了一个 Borel 且在算术下封闭的 ℕ 的子集族 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)，使得任何通过 uncountably 多个该族成员扩展 ℕ 的模型都成为皮亚诺算术（Peano arithmetic）模型，且该模型没有初等端扩展。其关键贡献在于对 Ali Enayat 关于 MacDowell-Specker 定理中可数性是否为必要条件的问题给出了否定回答，表明即使存在 uncountably 多个可定义谓词，此类模型依然存在。

ABSTRACT

We deal with models of Peano arithmetic (specifically with a question of Ali Enayat). The methods are from creature forcing. We find an expansion of N such that its theory has models with no (elementary) end extensions. In fact there is a Borel uncountable set of subsets of N such that expanding N by any uncountably many of them suffice. Also we find arithmetically closed A with no definably closed ultrafilter on it.

研究动机与目标

• 回答 Ali Enayat 关于 MacDowell-Specker 定理中可数性要求是否对初等端扩展为必要条件的问题。
• 构造一个 Borel 且在算术下封闭的集合族 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)，使得通过 uncountably 多个 𝔹 的成员扩展 ℕ 时，所得模型不具有初等端扩展。
• 证明在该类不可数扩展的算术闭包上，不存在可定义封闭的极小或 2-Ramsey 超滤子。
• 建立任何此类模型的标准系统（standard system）均不包含极小超滤子，从而与 PA 模型的更广泛模型论性质相联系。

提出的方法

• 在可数初等子结构 N* ≺ (H(χ), ∈) 上使用生物体力迫，以构造具有特定可定义性质的 PA 模型。
• 将 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ) 定义为一族树 T*ω 的算术闭包，其中每棵树的层级均为有限，并由关系 <t 良序排列。
• 利用树 <t 的结构定义可定义函数 gt 和序列 bt_i，用于分析算术闭包上超滤子的行为。
• 应用无限 Δ-系统引理，寻找两个不同的 t1, t2，使得集合 Ct1 与 Ct2 的交集为有限集，从而矛盾地否定极小超滤子的存在。
• 利用力迫和可定义性约束，证明任何 uncountable 子集 A′ ⊆ 𝔹 的算术闭包 ar-cl(A′) 上均不存在可定义封闭的极小超滤子。
• 利用 Shelah 的 [Sh:F834] 中关于 ℵ1-有界力迫概念的结果，确保存在满足所需性质的合适通用扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 ℕ 的一个扩展，通过 uncountably 多个可定义子集进行扩展，使得所得 PA 模型没有初等端扩展？
• RQ2 我们能否构造一个 ℕ 的子集族，使其在算术下封闭，且其算术闭包上不存在极小或 2-Ramsey 超滤子？
• RQ3 ZFC 是否能证明存在一个在算术下封闭的族，即使该族不可数，其上也不存在极小超滤子？
• RQ4 非标准 PA 模型的标准系统是否可能不包含极小超滤子？何种力迫技术可确保这一点？
• RQ5 生物体力迫在构造无端扩展的 PA 模型中起到何种作用，特别是在语言不可数时？

主要发现

• 存在一个 Borel 且在算术下封闭的集合 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)，使得任何 uncountable 子集 A′ ⊆ 𝔹 均导出一个模型 Th(ℕ, A′)，该模型没有初等端扩展。
• 对于任意 uncountable A′ ⊆ 𝔹，其算术闭包 ar-cl(A′) 上不存在可定义封闭的极小超滤子。
• 族 𝔹 被构造为一族树 T*ω 的算术闭包，其中每棵树的层级有限，且在 <t 下为良序结构。
• 通过构造矛盾证明了 ar-cl(A′) 上极小超滤子的不存在性：尽管 Ct1 与 Ct2 均属于同一超滤子，但它们的交集为有限集。
• 对于 uncountable A′，模型 Th(ℕ, A′) 的标准系统上不存在 2.5-Ramsey 超滤子，意味着不存在共尾极小扩展。
• 该构造确保任何此类模型 N 满足 StSy(N) 上不包含极小超滤子，从而解决了与 Enayat 关于共尾极小扩展猜想相关的问题。