[论文解读] Models of inflation and the spectral index of the adiabatic density perturbation

David H. Lyth|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文研究了暴胀模型中绝热密度扰动的谱指数，推导出对于形如 $ V \simeq V_0(1 \pm \mu\phi^p) $ 的势能，谱指数为 $ n \approx 1 \pm \frac{2}{N} \frac{p-1}{p-2} $，其中 $ N $ 为尺度退出视界后的e倍数。文章表明，未来测量精度达到 $ \Delta n \sim 0.01 $ 将可区分不同模型，并分析了超引力对暴胀子质量的约束，强调其对谱指数 $ n $ 的影响。

ABSTRACT

If an adiabatic density perturbation is responsible for large scale structure and the cmb anisotropy, its spectral index $n$ will be measured in the forseeable future with an accuracy $Δn\sim .01$. This is precisely the kind of accuracy required to distinguish between many models of inflation. Most of them have an inflationary potential $V\simeq V_0(1\pmμϕ^p)$ with the constant term dominating. Except for $0\lsim p\lsim 2$, the prediction is $n=1\pm (2/N)(p-1)/(p-2)$, where $N$ is the number of $e$-folds of inflation after cosmological scales leave the horizon. It typically lies in the range $0.9\lsim n\lsim 1.1$. For $p=2$ one has $n=1\pm 2\Mpl^2 μ$ where $\Mpl=(8πG)^{-1/2}$. A generic supergravity theory gives contributions of order $\pm H^2$ to the inflaton mass-squared $m^2$ whereas inflation requires $|m^2| << H^2$. Proposals for keeping $m^2$ small are surveyed with emphasis on their implications for $n$. Finally, the case of a multi-component inflaton (as in `double' inflation) is discussed. In all cases, the best method of calculating the spectrum of the adiabatic density perturbation starts with the assumption that, after smoothing on a super-horizon scale, the evolution of the universe along each comoving worldline will be practically the same as in an unperturbed universe with the same initial inflaton field. The possible isocurvature density perturbation is briefly discussed, with a simple derivation of the fact that the low multipoles of the cmb anisotropy are six times as big as for an adiabatic density perturbation.

研究动机与目标

• 理解绝热密度扰动的谱指数 $ n $ 如何区分不同暴胀模型。
• 分析 $ n $ 对暴胀势能形式（特别是 $ V \simeq V_0(1 \pm \mu\phi^p) $）的依赖性，以及 $ N $（尺度退出视界后的e倍数）的作用。
• 研究超引力对暴胀子质量平方的贡献及其对谱指数 $ n $ 的影响，尤其在 $ m^2 \ll H^2 $ 的背景下。
• 评估多组分暴胀子模型（如双暴胀）与 $ n $ 的观测约束的一致性。
• 建立一种基于共动世界线在平滑、无扰动背景中演化行为的绝热扰动谱计算的稳健方法。

提出的方法

• 本文利用暴胀势能的慢滚近似，推导出形如 $ V \simeq V_0(1 \pm \mu\phi^p) $ 的谱指数 $ n $，其中主导项为常数项。
• 推导出关键方程，将 $ n $ 表示为 $ n = 1 \pm \frac{2}{N} \frac{p-1}{p-2} $（当 $ p \not\approx 2 $ 时），以及 $ n = 1 \pm 2 \frac{M_{\text{pl}}^2 \mu}{H^2} $（当 $ p = 2 $ 时），其中 $ N $ 为宇宙尺度退出视界后的e倍数。
• 分析了超引力对暴胀子质量平方的贡献，表明其通常贡献 $ \sim \pm H^2 $，这与慢滚暴胀所需的 $ |m^2| \ll H^2 $ 条件相冲突。
• 本文提出并回顾了稳定 $ m^2 $ 在小值的机制，评估其对预测谱指数 $ n $ 的影响。
• 通过假设在超视界尺度平滑后，每个共动世界线均以与初始暴胀子场值相同的无扰动宇宙方式演化，建立了一致的绝热扰动谱计算方法。
• 简要考察了等曲率扰动的可能性，并推导出：宇宙微波背景各向异性的低阶多极矩比绝热扰动大六倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 绝热密度扰动的谱指数 $ n $ 如何依赖于暴胀势能 $ V(\phi) $ 的形式，特别是 $ V \simeq V_0(1 \pm \mu\phi^p) $ 的情况？
• RQ2 超引力理论对暴胀子质量平方施加了何种约束？这些约束如何影响预测的 $ n $ 值？
• RQ3 未来观测若能达到 $ \Delta n \sim 0.01 $ 的精度，能否基于预测的 $ n $ 值区分不同暴胀模型？
• RQ4 多组分暴胀子模型（如双暴胀）如何影响谱指数，以及对扰动谱计算的一致性有何影响？
• RQ5 标准绝热扰动谱计算方法的物理基础是什么？为何在超视界尺度平滑下该方法仍然有效？

主要发现

• 对于形如 $ V \simeq V_0(1 \pm \mu\phi^p) $ 的暴胀势能，谱指数预测为 $ n \approx 1 \pm \frac{2}{N} \frac{p-1}{p-2} $，其中 $ N $ 为宇宙尺度退出视界后的e倍数。
• 谱指数通常位于 $ 0.9 \lesssim n \lesssim 1.1 $ 范围内，具体取决于 $ p $ 和 $ N $，因此可通过未来 $ \Delta n \sim 0.01 $ 的测量加以区分。
• 当 $ p = 2 $ 时，谱指数为 $ n = 1 \pm 2 \frac{M_{\text{pl}}^2 \mu}{H^2} $，其中 $ M_{\text{pl}} $ 为约化普朗克尺度，表明 $ n $ 与暴胀子耦合常数 $ \mu $ 直接关联。
• 一般超引力理论对暴胀子质量平方的贡献约为 $ \sim \pm H^2 $，这与慢滚暴胀所需的 $ |m^2| \ll H^2 $ 条件相冲突，因此必须依赖微调机制以保持 $ m^2 $ 很小。
• 多组分暴胀子模型（如双暴胀）经分析表明，其与通过共动世界线演化计算绝热谱的标准方法是一致的。
• 等曲率扰动被证明会使宇宙微波背景在低阶多极矩的各向异性比绝热扰动大六倍，凸显了其关键的观测区分特征。