[论文解读] Models of Markov processes with a random transition mechanism

Ya. I. Belopolskaya, Yuri Suhov|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在随机环境中连续时间马尔可夫过程的新构造方法，其中环境与基础过程通过非交换算子构成的联合生成元动态相互影响。主要贡献是为这类系统提供了一种通用方法以推导不变测度，通过杰克逊网络、排除过程以及切换漂移和波动率的扩散模型等实例验证，所得稳态分布具有乘积形式或解析可处理性。

ABSTRACT

The paper deals with a certain class of random evolutions. We develop a construction that yields an invariant measure for a continuous-time Markov process with random transitions. The approach is based on a particular way of constructing the combined process, where the generator is defined as a sum of two terms: one responsible for the evolution of the environment and the second representing generators of processes with a given state of environment. (The two operators are not assumed to commute.) The presentation includes fragments of a general theory and pays a particular attention to several types of examples: (1) a queueing system with a random change of parameters (including a Jackson network and, as a special case: a single-server queue with a diffusive behavior of arrival and service rates), (2) a simple-exclusion model in presence of a special `heavy` particle, (3) a diffusion with drift-switching, and (4) a diffusion with a randomly diffusion-type varying diffusion coefficient (including a modification of the Heston random volatility model).

研究动机与目标

• 开发一种适用于环境与基础过程共同演化的连续时间马尔可夫过程的通用构造方法。
• 确立在环境与基础过程生成元不交换时，联合过程 (Z(t), X(t)) 拥有良好定义的不变测度的条件。
• 将乘积形式稳态分布理论扩展至具有随机转移机制的系统，特别是在排队和扩散模型中。
• 为具有切换动力学的模型（如随机波动率或漂移的扩散）提供一个通用框架，并将不变测度与弱不变方程联系起来。
• 探讨逆问题：给定的随机过程是否可表示为通过此方法构造的联合马尔可夫过程的投影。

提出的方法

• 将联合生成元 R 构造为两个非交换算子之和：一个用于环境演化，另一个用于固定环境状态下的基础过程。
• 通过环境的不变测度 υ 和基础过程在固定环境状态 z 下的不变测度 ν^(z) 的乘积形式表达不变测度 κ，并引入乘性因子 m(z,x) 以捕捉相互依赖关系。
• 利用弱不变方程（WIEs）正式刻画不变测度 κ，确保对测试函数 φ，有 Rφ 在 κ 下保持平衡。
• 将该构造应用于具体模型：具有随机参数的杰克逊网络、具有重粒子的排除过程，以及具有切换漂移或随机波动率的扩散过程。
• 引入边界条件（如 z=0 处的诺伊曼条件）和定义域限制，以保证 Feller 性质及由 R 生成的半群的存在性。
• 通过验证生成元 R 在弱意义下满足所需的平衡条件（特别是在具有扩散和反射的情况下），确认测度 κ 的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一个具有随机转移机制的连续时间马尔可夫过程，使得环境与基础过程动态相互影响，而非环境固定不变？
• RQ2 当环境与基础过程的生成元不交换时，联合过程 (Z(t), X(t)) 在何种条件下 admits 唯一的不变测度？
• RQ3 在具有随机转移的系统中，如杰克逊网络或具有重粒子的排除过程，乘积形式不变测度是否仍可保持？
• RQ4 对于具有切换漂移或随机波动率的扩散过程（如改进的赫斯顿模型），不变测度如何显式构造？
• RQ5 是否可能将给定的随机过程表示为通过此方法构造的联合马尔可夫过程的投影，从而解决逆问题？

主要发现

• 对于参数 (λ, μ, P) 在有限集 Z 上作为马尔可夫过程演化的杰克逊网络，联合过程拥有修正的乘积形式不变测度，经归一化后成为适当的稳态分布。
• 在具有重粒子的简单排除模型中，联合过程的稳态分布保持乘积形式结构，表明该构造具有鲁棒性。
• 对于漂移切换的扩散过程，不变测度为 κ(dz,dx) = z^{2ab−1} e^{−2az − x²/z²} dx dz，且生成元 R 显式构造以保持该测度。
• 在具有随机波动率的赫斯顿型模型中，不变测度为 κ(dz,dx) = z^{2ab−1} e^{−2az − x²/z²} dx dz，且生成元 R 同时包含奥恩斯坦-乌伦贝克动力学与通过指数因子体现的环境反馈。
• 该方法确保了测度 κ 满足弱不变方程，且在定义域与边界条件（如 z=0 处的诺伊曼条件）下，Feller 半群的存在性得以确立，从而意味着过程的路径存在性。
• 该构造揭示了一种类对偶性：当耦合因子 m(z,x) 较小时，生成元系数增大，但不变测度 κ 仍保持良好定义，提示在弱于标准条件的假设下可能存在存在性定理。