[论文解读] Models of on-line social networks

Anthony Bonato, Noor Hadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 35被引用 25

一句话总结

本文提出了在线社交网络的迭代局部传递性（ILT）模型，其中新节点在每个时间步克隆现有节点的闭邻域。该模型生成的图具有幂律稠密化、平均距离减小、聚类系数高以及扩张性差等特性，与现实世界中的OSN一致，同时保持了诸如支配数、控制数和自同构群结构等结构性不变量。

ABSTRACT

We present a deterministic model for on-line social networks (OSNs) based on transitivity and local knowledge in social interactions. In the Iterated Local Transitivity (ILT) model, at each time-step and for every existing node $x$, a new node appears which joins to the closed neighbour set of $x.$ The ILT model provably satisfies a number of both local and global properties that were observed in OSNs and other real-world complex networks, such as a densification power law, decreasing average distance, and higher clustering than in random graphs with the same average degree. Experimental studies of social networks demonstrate poor expansion properties as a consequence of the existence of communities with low number of inter-community edges. Bounds on the spectral gap for both the adjacency and normalized Laplacian matrices are proved for graphs arising from the ILT model, indicating such bad expansion properties. The cop and domination number are shown to remain the same as the graph from the initial time-step $G_0$, and the automorphism group of $G_0$ is a subgroup of the automorphism group of graphs generated at all later time-steps. A randomized version of the ILT model is presented, which exhibits a tuneable densification power law exponent, and maintains several properties of the deterministic model.

研究动机与目标

• 开发一种确定性模型，用于在线社交网络，以捕捉现实网络中观察到的关键经验性特征。
• 通过在网络演化中引入传递性和局部知识，弥补现有模型的局限性。
• 证明该模型能生成满足稠密化幂律、平均距离减小及高聚类特性的图。
• 分析谱性质，如归一化拉普拉斯矩阵和邻接矩阵的谱隙，表明扩张性差。
• 将模型扩展为具有可调稠密化指数的随机版本，同时保持核心结构性质。

提出的方法

• ILT模型通过克隆现有节点的闭邻域在每个时间步生成新节点，确保网络形成的传递性。
• 模型以基础图 $ G_0 $ 初始化，在每个时间步 $ t $，$ G_{t-1} $ 中的每个节点均生成一个新节点，并连接到其闭邻域。
• 通过递推关系分析图的体积演化，其中 $ { m vol}(H_t) = 3{ m vol}(H_{t-1}) + 2^t + ext{随机边} $，随机边以概率 $ p(2^t) $ 添加。
• 利用切尔诺夫不等式导出浓度界，表明体积以 $ (1+o(1))(3+ au)^t $ 的速率增长，其中 $ au = rac{ au}{3+ au} $，确保在随机扰动下保持稳定。
• 通过引理2.6推导谱隙界，将谱隙与顶点集体积及边扩张性关联，表明 $ ilde{ au}(T) = ilde{ au}(1) $，反映扩张性差。
• 随机变体ILT($ p $)引入以概率 $ p(2^t) $ 添加的随机边，从而可调控制稠密化幂律指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于传递性和局部知识的确定性模型能否复现真实在线社交网络的关键结构特性？
• RQ2 ILT模型是否在时间演化过程中生成满足稠密化幂律且平均距离减小的图？
• RQ3 ILT模型生成的图中，谱性质（尤其是归一化拉普拉斯矩阵和邻接矩阵的谱隙）如何表现？
• RQ4 在ILT模型中，结构性不变量（如控制数、支配数和自同构群）在时间演化过程中保持程度如何？
• RQ5 ILT模型的随机版本能否在保持确定性模型关键特性的前提下，实现稠密化指数的可调性？

主要发现

• ILT模型生成的图满足稠密化幂律，其指数为 $ a o rac{ au}{3+ au} $，其中 $ au $ 为可调参数。
• ILT模型中平均距离和直径有与时间无关的常数上界，表明距离随时间减小或保持稳定。
• ILT生成图的聚类系数显著高于相同平均度数的随机图。
• 归一化拉普拉斯矩阵的谱隙为 $ ilde{ au}(T) = ilde{ au}(1) = ilde{ au}(1) $，表明扩张性差，与现实网络一致。
• 控制数和支配数在整个时间演化过程中保持与初始图 $ G_0 $ 相同。
• 初始图 $ G_0 $ 的自同构群是所有后续图 $ G_t $ 的自同构群的子群，保持了对称性。