[论文解读] Models of some cardinal invariants with large continuum

Diego A. Mejía|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文構造了連續統較大（大於 ℵ₂）的集合論模型，其中各種連續統的基數不變量——如 add(𝒩), cov(𝒩), p, non(𝒫), cov(𝒫), d, non(𝒩), 和 𝔠——可取任意正則值。利用有限支撐迭代與矩陣迭代技術，作者擴展了先前的方法，以實現這些不變量的任意相容值，包括非 Cichon 圖表不變量如 𝔰 和 𝔯。

ABSTRACT

We extend the applications of the techniques used in Arch Math Logic 52:261-278, 2013, to present various examples of consistency results where some cardinal invariants of the continuum take arbitrary regular values with the size of the continuum being bigger than $\aleph_2$.

研究动机与目标

• 擴展力迫技術，以構造連續統大於 ℵ₂ 且特定基數不變量取任意正則值的模型。
• 探討 Cichon 圖表以外的基數不變量（如 𝔰 和 𝔯）取任意正則值的一致性。
• 研究在力迫擴張下基數不變量的下界與上界之保持性，並應用廣義保持結果。
• 探討在矩陣迭代構造中，對不變量如 𝔲 和 𝔯 的控制之限制與條件。
• 識別關於在這些模型中實現 𝔲 和 𝔯 的特定值之開放問題。

提出的方法

• 使用 [8] 中的有限支撐迭代（fsi）技術與 Blass 和 Shelah 提出的矩陣迭代方法。
• 採用力迫概念，包括 Cohen (𝓒)、隨機 (𝓑)、Hechler (𝓓)、最終不同實數 (𝓔) 及帶濾子基的 Mathias 力迫 (𝓜𝓕)。
• 應用第 2 節中的保持結果，以在力迫擴張中維持不變量的界。
• 在每個階段構造維度為 𝜅 × 𝜅𝜈 的矩陣迭代，其力迫條件由子序與濾子基的名稱序列參數化。
• 使用迭代 𝔼_{𝜅,𝜆𝜅𝜈} 來控制如 add(𝒩) = 𝜇₁, cov(𝒩) = 𝜇₂, p = non(𝒫) = 𝜈, d = 𝜅, non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆 等不變量。
• 應用引理 2.25（關於帶超濾子的 Laver 力迫）以將框架擴展至新的力迫情境。

实验结果

研究问题

• RQ1 矩陣迭代方法能否擴展至在連續統較大的模型中實現 𝔰 = 𝜅 或 𝔯 = 𝜅？
• RQ2 在定理 4.5 的一致性結果中，能否實現 𝔲 = 𝜈 而非 𝔡 = 𝜅？
• RQ3 引理 2.23 對關係 ⊥（叉形）是否成立？若成立，將可於新構造中控制 𝔰 和 𝔯。
• RQ4 Laver 力迫能否用於在連續統較大的模型中實現 𝔲 = 𝜅 或 𝔲 = 𝜆？
• RQ5 當力迫概念如 𝓑 和 𝓓 在列中以共終方式出現時，矩陣迭代方法的限制為何？

主要发现

• 在模型 𝑉_{𝜅,𝜆𝜅𝜈} 中，add(𝒩) = 𝜇₁, cov(𝒩) = 𝜇₂, p = non(𝒫) = 𝜈, 且 cov(𝒫) ≥ 𝜈。
• 支配數滿足 𝔡 = 𝜅，連續統為 ℵ_𝜆，且 non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆。
• 超濾子數滿足 𝔲 ≤ 𝜈，由一序列 Mathias 實數生成的超濾子所實現。
• 該模型滿足在 𝜆 處的廣義連續統假設，記為 GCH_𝜆。
• 該構造確保不變量的值被保持，且可賦予任意正則值。
• 該方法無法實現 𝔯 = 𝜅，原因在於 ( +_{𝓑,∝} ) 的非保持性，從而限制了對此類模型中 𝔯 的控制。