[论文解读] Moderate deviations for the chemical distance in Bernoulli percolation

Olivier Garet, Régine Marchand|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文在超临界伯努利渗滤的 $\mathbb{Z}^d$ 上建立了化学距离的中等偏差估计，利用集中不等式与次可加性来控制均值附近的波动。证明了化学距离 $D(0,y)$ 以高概率偏离其均值 $\mu(y)$ 不超过 $O(\sqrt{\|y\|_1} \log(1+\|y\|_1))$，并提供了中等偏差的指数尾部界，改进了对渗滤簇渐近形状的理解。

ABSTRACT

In this paper, we establish moderate deviations for the chemical distance in Bernoulli percolation. The chemical distance between two points is the length of the shortest open path between these two points. Thus, we study the size of random fluctuations around the mean value, and also the asymptotic behavior of this mean value. The estimates we obtain improve our knowledge of the convergence to the asymptotic shape. Our proofs rely on concentration inequalities proved by Boucheron, Lugosi and Massart, and also on the approximation theory of subadditive functions initiated by Alexander.

研究动机与目标

• 分析超临界伯努利渗滤在 $\mathbb{Z}^d$ 上化学距离的随机波动。
• 在大偏差范围之外，为化学距离 $D(0,y)$ 围绕其均值 $\mu(y)$ 建立中等偏差估计。
• 通过量化典型波动，改进对渗滤簇收敛到渐近形状的理解。
• 控制期望化学距离 $\mathbb{E}[D^*(0,y)]$ 与确定性范数 $\mu(y)$ 之间的差异。
• 通过 $Q_x$-骨架与重正化方法，发展一种精细化近似方案，以控制无限簇中路径长度。

提出的方法

• 作者引入了修正的化学距离 $D^*(x,y) = D(x^*,y^*)$，其中 $x^*$ 是点 $x$ 在无限簇 $C_\infty$ 中的最近点，以处理不连通的点。
• 他们应用 Boucheron、Lugosi 与 Massart 的集中不等式，以控制 $D^*(0,y)$ 与其均值的偏离。
• 利用次可加性及次可加函数的逼近理论（受 Alexander 启发），以控制均值偏离 $|\mathbb{E}[D^*(0,y)] - \mu(y)|$。
• 通过 $Q_x$-路径与骨架构造重正化方案，将长路径分解为短增量与长增量，从而实现方差与偏离的控制。
• 证明过程中区分短增量（属于 $\Delta_x$）与长增量（属于 $D_x$），分别使用引理 4.6 的界来控制其数量。
• 通过结合矩估计、集中不等式与路径分解，推导出指数尾部界，得到形如 $\mathbb{P}(|D^*(0,y) - \mathbb{E}[D^*(0,y)]| / \sqrt{\|y\|_1} > x) \leq A e^{-Bx}$ 的界，其中 $x \geq C(1 + \log \|y\|_1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超临界伯努利渗滤中，化学距离 $D(0,y)$ 围绕其均值 $\mu(y)$ 的典型波动行为如何？
• RQ2 是否可以为化学距离建立中等偏差估计，且具有指数尾部衰减，超越大偏差范围？
• RQ3 对 $\mathbb{E}[D^*(0,y)]$ 与渐近范数 $\mu(y)$ 之间差异的定量控制是什么？
• RQ4 如何利用 $Q_x$-骨架近似无限簇中的路径结构，以控制化学距离？
• RQ5 $D^*(0,y)$ 的方差的最优标度是什么？其与 $\|y\|_1$ 的关系如何？

主要发现

• 化学距离偏离其均值的期望满足 $\mathbb{E}[|D(0,y) - \mu(y)| \mathbf{1}_{\{0\leftrightarrow y\}}}] \leq C_{\ref{concenD}} \sqrt{\|y\|_1} \log(1 + \|y\|_1)$。
• 对于 $x \in [C_{\ref{equmoderter}}(1 + \log \|y\|_1), \|y\|_1^{1/2}]$，中等偏差概率满足 $\mathbb{P}\left(\frac{|D(0,y) - \mu(y)|}{\sqrt{\|y\|_1}} > x, \; 0\leftrightarrow y\right) \leq A_{\ref{equmoderter}} e^{-B_{\ref{equmoderter}}x}$。
• 修正距离的方差满足 $\text{Var } D^*(0,y) \leq C_{\ref{equvar}} \|y\|_1 \log(1 + \|y\|_1)$。
• $D^*(0,y)$ 的均值满足 $0 \leq \mathbb{E}[D^*(0,y)] - \mu(y) \leq C_{\ref{equetlesperance1}} \sqrt{\|y\|_1} \log(1 + \|y\|_1)$。
• 随机球 $B^0(t) = \{x : D(0,x) \leq t\}$ 几乎必然包含于半径为 $t + C_{\ref{equtfa}} \sqrt{t} \log t$ 的 $\mu$-球内，且包含半径为 $t - C_{\ref{equtfa}} \sqrt{t} \log t$ 的球。
• 对于 $x \in [C_{\ref{equmoderbis}}(1 + \log \|y\|_1), \sqrt{\|y\|_1}]$，尾部界 $\mathbb{P}\left(\frac{|D^*(0,y) - \mu(y)|}{\sqrt{\|y\|_1}} > x\right) \leq A_{\ref{equmoderbis}} e^{-B_{\ref{equmoderbis}}x}$ 成立，且给出了显式常数。