[论文解读] Moderate deviations for the volume of the Wiener sausage

M. van den Berg, Erwin Bolthausen+1 more|ArXiv.org|Mar 1, 2001

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在维度 $d \geq 3$ 和 $d=2$ 的情况下，建立了维纳奶酪体积的中等偏差原理，推导出控制概率 $P(|W^a(t)| \leq bt)$ 指数衰减的速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$ 的变分公式，其中 $t \to \infty$。最优策略表现为形成随机分布、尺度为 $t^{1/d}$ 的孔洞（类似‘瑞士奶酪’），与大偏差中局域化、无孔的行为形成鲜明对比。

ABSTRACT

For a&gt;0,let W^a(t) be the a-neighbourhood of standard Brownian motion in R^d starting at 0 and observed until time t.It is well-known that E|W^a(t)|~kappa_a t (t-&gt;infty) for d &gt;= 3,with kappa_a the Newtonian capacity of the ball with radius a. We prove that lim_{t-&gt;infty} 1/t^{(d-2)/d}log P(|W^a(t)|&lt;=bt) = -I^{kappa_a}(b) in (-infty,0) for all 0<b>infty.This is markedly different from the optimal strategy for large deviations |W^a(t)|&lt;=f(t) with f(t)=o(t),where W^a(t) is known to fill completely a ball of volume f(t) and nothing outside,so that W^a(t) has no holes and f(t)^{-1/d}W^a(t) is localised in the limit as t-&gt;infty.We give a detailed analysis of the rate function I^{kappa_a},in particular,its behaviour near the boundary points of (0,kappa_a).It turns out that I^{kappa_a} has an infinite slope at kappa_a and,remarkably,for d&gt;=5 is nonanalytic at some critical point in (0,kappa_a),above which it follows a pure power law.This crossover is associated with a collapse transition in the optimal strategy.We also derive the analogous moderate deviation result for d=2.In this case E|W^a(t)|~2pi t/log t (t-&gt;infty),and we prove that lim_{t-&gt;infty} 1/log t log P(|W^a(t)|&lt;=bt/log t) =-I^{2pi}(b)in (-infty,0) for all 0<b></b></b>

研究动机与目标

• 分析 $\mathbb{R}^d$ 中维度 $d \geq 3$ 和 $d=2$ 的维纳奶酪体积的中等偏差，其中偏差尺度为均值 $\kappa_a t$。
• 推导 $t \to \infty$ 时对数尾概率 $\log P(|W^a(t)| \leq bt)$ 的精确渐近表达式，识别出速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$。
• 刻画实现中等偏差的最优路径策略，并与大偏差中的局域化策略进行对比。
• 分析速率函数 $I^{\kappa_a}$ 的解析与几何性质，包括其非解析性及在 $d \geq 5$ 时的相变。
• 将中等偏差分析扩展至临界情形 $d=2$，此时均值以 $t / \log t$ 的速率增长。

提出的方法

• 利用大偏差理论分析中等偏差区域中 $b < \kappa_a$ 时的尾概率 $P(|W^a(t)| \leq bt)$。
• 通过涉及狄利克雷能量和 $L^2$-范数约束的函数类 $\Phi^{\kappa_a}(b)$，推导出速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$ 的变分表示，即其为下确界。
• 应用费曼-卡茨公式与坎姆-马丁-吉尔萨诺夫变换，将维纳奶酪与具有随机势的薛定谔算子联系起来。
• 利用关于 $\chi(u)$ 的变分问题（通过在 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 中对径向严格递减函数进行最小化定义）来刻画速率函数。
• 分析变分问题中极小化元的存在性与非存在性，从而在 $d \geq 5$ 时于临界值 $u^*_d$ 处揭示相变。
• 利用 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 中的紧致性与弱收敛性论证，证明极小化元的存在性，并推导出速率函数的单调性与凸性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $t \to \infty$ 时，$P(|W^a(t)| \leq bt)$ 在中等偏差区域中 $b < \kappa_a$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ2 实现中等偏差的最优路径策略是什么？它与大偏差中的策略有何不同？
• RQ3 速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$ 在边界 $b \to 0^+$ 和 $b \to \kappa_a^-$ 附近的行为如何？其解析性质是什么？
• RQ4 在 $d \geq 5$ 时，速率函数是否表现出相变？如果是，该相变的物理与几何解释是什么？
• RQ5 在 $d=2$ 时，中等偏差行为有何不同，此时均值体积以 $t / \log t$ 的速率增长？

主要发现

• 对于 $d \geq 3$，中等偏差速率函数为 $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{(d-2)/d}} \log P(|W^a(t)| \leq bt) = -I^{\kappa_a}(b)$，其中 $I^{\kappa_a}(b)$ 通过变分公式定义。
• 中等偏差的最优策略为非局域化，形成大小约为 $\sim 1$ 的随机孔洞，其密度在 $t^{1/d}$ 尺度上变化，呈现出类似‘瑞士奶酪’的结构。
• 与大偏差中奶酪填充一个体积为 $f(t)$ 的球体且局域化的策略相反，中等偏差策略是非局域化且布满孔洞的。
• 对于 $d \geq 5$，速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$ 在临界点 $b_c \in (0, \kappa_a)$ 处非解析，该点之上的尾部呈幂律形式，表明最优策略中发生坍塌相变。
• 速率函数 $I^{\kappa_a}(b)$ 在 $b = \kappa_a$ 处具有无穷大斜率，表明偏差概率存在一个尖锐阈值。
• 对于 $d=2$，中等偏差结果为 $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\log t} \log P(|W^a(t)| \leq bt / \log t) = -I^{2\pi}(b)$，其中 $I^{2\pi}(b)$ 在 $b = 2\pi$ 处具有有限斜率。