[论文解读] Moderate deviations principle for empirical covariance from a unit root

Yu Miao, Yanling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Monetary Policy and Economic Impact参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文为单位根线性自回归模型中经验协方差的中偏差原理（MDP）建立了理论框架，其中自回归参数 θₙ → 1。通过在噪声矩条件下的鞅逼近与指数矩界分析，作者推导出经验协方差以及最小二乘估计与Yule-Walker估计的MDP，将先前结果从高斯分布或对数Sobolev假设推广至更一般的噪声条件。

ABSTRACT

In the present paper, we consider the linear autoregressive model in $ r$, $$ X_{k,n}=θ_n X_{k,n-1}+ξ_k, k=0,1,...,n, n\ge 1$$ where $θ_n\in [0,1)$ is unknown, $(ξ_k)_{k\in\zz}$ is a sequence of centered i.i.d. r.v. valued in $ r$ representing the noise. When $θ_n o 1$, the moderate deviations principle for empirical covariance is discussed and as statistical applications we provide the moderate deviation estimates of the least square and the Yule-Walker estimators of the parameter $θ_n$.

研究动机与目标

• 在自回归参数 θₙ 趋近于1时，为线性自回归模型中的经验协方差建立中偏差原理（MDP）。
• 将现有的大偏差与中偏差结果推广至噪声分布不满足高斯或对数Sobolev假设的情形。
• 在单位根渐近框架下，为最小二乘估计与Yule-Walker估计提供中偏差估计。
• 分析在中偏差尺度下（偏差按 bₙ / √n 规模缩放，其中 bₙ → ∞ 且 bₙ / n → 0）经验协方差与参数估计量的渐近行为。

提出的方法

• 通过鞅逼近技术处理时间序列的依赖结构，推导出经验协方差 Cₗ,n* 的中偏差原理。
• 利用截断增量的指数矩界，通过Gärtner-Ellis定理建立MDP。
• 对噪声 ξₖ 施加矩条件，即 E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞（γ > 0），以控制尾部行为并确保指数矩的收敛性。
• 通过截断与耦合论证控制截断过程与原始过程之间的差异，证明其在中偏差尺度下可忽略。
• 证明归一化累积量生成函数收敛至二次型，从而确认经验协方差的MDP。
• 将经验协方差的MDP应用于最小二乘与Yule-Walker估计量，通过连续映射与delta方法型论证推导出中偏差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 θₙ → 1 时，单位根自回归模型中经验协方差的中偏差行为如何？
• RQ2 当真实参数趋近于1时，最小二乘与Yule-Walker估计量在中偏差尺度下的行为如何？
• RQ3 在不假设噪声服从高斯分布或对数Sobolev条件的前提下，能否为经验协方差建立中偏差原理？
• RQ4 噪声 ξₖ 需要满足何种矩条件，才能保证经验协方差与参数估计量的中偏差原理成立？
• RQ5 与中心极限定理框架相比，经验协方差与估计量在中偏差尺度下的渐近行为有何不同？

主要发现

• 经验协方差 Cₗ,n* 满足速度为 bₙ² 的中偏差原理，速率函数为 I(x) = x² / (2σ²)，其中 σ² 为协方差估计量的渐近方差。
• 最小二乘估计量 ̂θₙ 在相同缩放尺度下也满足中偏差原理，其速率函数由经验协方差的MDP导出。
• Yule-Walker估计量 ̃θₙ 同样满足中偏差原理，具有相同的速度 bₙ²，且在相同矩条件下成立。
• 证明依赖于截断与矩界控制：在 E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞（γ > 0）条件下，截断增量的指数矩以所需速率收敛至零。
• 在条件 limₙ→∞ (bₙ (mp)¹⁺ᵞ) / √n = 0 下，截断尾部的贡献在中偏差尺度下趋于零，由尾部概率项收敛至零所证实。
• 该结果推广了先前工作，无需对数Sobolev或高斯可积性假设，将MDP推广至更广泛的噪声分布类。