[论文解读] Modified gravity without new degrees of freedom

Laurent Freidel|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文表明，Bengtsson 和 Krasnov 提出的修正引力理论——此前被认为是非度规的且无明显度规解释——可重新表述为标准度规引力与一个行列式为 1 的辅助对称张量场的耦合。关键结果是，尽管在积分掉该场后作用量变为非局部的，但这些理论仅传播两个自由度（即一个引力子），因为该辅助场在二次阶上是非动力学的。

ABSTRACT

We show that the new type of "non-metric" gravity theories introduced independently by Bengtsson and Krasnov can in fact be reexpressed explicitely as a metrical theory coupled to an auxiliary field. We unravel why such theories possess only one propagating graviton by looking at the quadratic perturbation around a fixed solution. And we give a general construction principle with a new class of example of such modified gravity theories still possessing only two propagating degrees of freedom.

研究动机与目标

• 解决一个看似矛盾的问题：非度规引力理论虽无标准度规表述，却仅传播两个自由度。
• 表明这些理论可重铸为与一个行列式为 1 的辅助场耦合的标准度规理论。
• 通过在固定背景上分析二次微扰，阐明为何辅助场不传播。
• 提出一种系统构造新修正引力理论的一般性原则，该理论在修改爱因斯坦-希尔伯特作用量的同时保持两个自由度。
• 将 Carroll 关于标量辅助场的工作推广至对称张量辅助场的情形，同时保持引力子数量不变。

提出的方法

• 使用 Urbantke 构造，将 SU(2) BF 理论用度规 $ g_{\mu\nu} $ 和一个对称、行列式为 1 的矩阵场 $ h^{ij} $ 重新表述。
• 将 BF 作用量表示为 $ g_{\mu\nu} $ 和 $ h^{ij} $ 的形式，表明 $ h^{ij} $ 作为行列式为 1 的辅助场起作用。
• 为辅助场引入势 $ V(h^{ij}) $，以生成保持两个自由度结构的修正引力理论。
• 在背景解附近分析小的度规涨落 $ h_{\mu\nu} $，并进行非局部场重定义以解耦非传播模式。
• 证明辅助场 $ b_{ab} $（与 $ h^{ij} $ 相关）在二次阶上满足纯代数方程，确认其不传播任何自由度。
• 通过将对称张量场 $ \pi_{\mu\nu} $ 与引力耦合，形式为 $ \sqrt{g} G_{\mu\nu} (g^{\mu\nu} + \pi^{\mu\nu}) $，并引入 Pauli-Fierz 动能项和势 $ V(\pi) $，构建一类一般理论，确保仅传播一个引力子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将仅传播两个自由度的非度规引力理论重写为含辅助场的标准度规理论？
• RQ2 为何这些修正引力理论尽管缺乏度规解释，仍仅传播两个自由度？
• RQ3 辅助场在二次阶上如何确保不产生额外传播模？
• RQ4 如何系统构造新修正引力理论，使其在修改爱因斯坦-希尔伯特作用量的同时保持两个自由度结构？
• RQ5 非传播辅助场的机制能否从标量场推广至张量场？这对有效作用量有何影响？

主要发现

• Bengtsson 和 Krasnov 的修正引力理论可显式重写为与一个行列式为 1 的辅助对称张量场 $ h^{ij} $ 耦合的度规理论。
• 辅助场 $ h^{ij} $ 在二次阶上是非动力学的：其运动方程为纯代数式，意味着它不传播任何自由度。
• 在积分掉辅助场后，度规的有效作用量变为非局部的，其横向迹零引力子的动能项形式为 $ h^{TT}_{\mu\nu} \frac{\Box}{1 + \frac{\Box}{M^2}} h^{TT\mu\nu} $。
• 对牛顿势的修正包含一个接触项 $ V(x) \sim \frac{1}{\alpha} \delta^4(x) $，仅在紫外尺度显著。
• 该理论的两个自由度结构由底层 BF 理论中的拓扑对称性保护，该对称性消除了辅助场 10 个分量中的 8 个。
• 建立了一般性构造原则：将引力与对称张量场 $ \pi_{\mu\nu} $ 耦合，采用 Pauli-Fierz 动能项和势 $ V(\pi) $，再通过场重定义 $ \hat{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \pi_{\mu\nu} $，可得到仅传播一个引力子的理论。