[论文解读] Modified Stancu-type Dunkl generalization of Szasz- Kantorovich-operators

M. ‎Mursaleen, Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文提出了一种改进的 Stancu 型 Dunkl 拓广 Szász-Kantorovich 算子，该算子保持线性函数，并在 $[\frac{1}{2}, \infty)$ 上提高了逼近精度，通过 Korovkin 型定理、连续模和加权逼近方法实现了更优的收敛速度。主要贡献在于提出了一类新型算子，其误差估计优于经典算子和现有的 Dunkl 变体。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a modification of the Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators as well as Stancu operators [9] (or a Dunkl generalization of modified Szasz-Mirakjan-Kantrovich operators [5]) which preserve the linear functions. These types of operators modification enables better error estimation than the classical Dunkl Szasz-MirakjanKantrovich as well as Stancu operators. We obtain some approximation results via well known Korovkin's type theorem, weighted Korovkin's type theorem convergence properties by using the modulus of continuity and the rate of convergence of the operators for functions belonging to the Lipschitz class

研究动机与目标

• 开发一类新的正线性算子，通过 Dunkl 微积分将 Szász-Kantorovich 算子与 Stancu 算子进行推广。
• 与经典算子及现有 Dunkl 型算子相比，改进函数在 $[\frac{1}{2}, \infty)$ 上的误差估计与收敛速度。
• 通过 Korovkin 型定理、连续模与加权逼近方法，建立 $C_{\zeta}[0,\infty)$ 中函数的逼近结果。
• 通过结合两种改进方式，拓展近期关于修正 Szász-Mirakjan-Kantorovich 算子与 Dunkl-Stancu 算子的研究工作。

提出的方法

• 针对 $x \geq \frac{1}{2}$，通过引入平移参数 $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$ 定义修正算子 $K_n^*(f;x)$，确保其保持线性性质。
• 利用 Dunkl 指数函数 $e_\mu(x)$ 与广义阶乘 $\gamma_\mu(k)$ 构造算子，其中 $\mu \geq 0$。
• 应用 Kantorovich 型积分修正：$K_n^*(f;x) = \frac{n}{e_\mu(n r_n(x))} \sum_{k=0}^\infty \frac{(n r_n(x))^k}{\gamma_\mu(k)} \int_{\frac{k+2\mu\theta_k}{n}}^{\frac{k+1+2\mu\theta_k}{n}} f\left(\frac{nt+\alpha}{n+\beta}\right) dt$。
• 利用 Korovkin 定理与加权 Korovkin 理论，证明连续函数在 $[0,\infty)$ 上的收敛性。
• 通过二阶连续模 $\omega_2(f;\delta)$ 与 Peetre 的 $K$-泛函，建立收敛速度。
• 通过与二阶连续模及 $K$-泛函的比较，推导出定量估计，获得显式的收敛界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对经典 Szász-Kantorovich 算子进行改进，以在 $[\frac{1}{2}, \infty)$ 上提高逼近精度？
• RQ2 能否将 Stancu 与 Dunkl 拓广相结合，使新算子的收敛性质优于现有算子？
• RQ3 该新算子在 Lipschitz 类函数与 $C_{\zeta}[0,\infty)$ 中函数上的收敛速度如何？
• RQ4 引入平移项 $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$ 对逼近行为与误差界产生何种影响？
• RQ5 Dunkl 参数 $\mu$ 在多大程度上影响收敛速度与误差估计？

主要发现

• 所提出的算子 $K_n^*(f;x)$ 保持线性函数，确保 $K_n^*(1;x) = 1$ 与 $K_n^*(t;x) = x$。
• 与经典 Dunkl Szász-Kantorovich 算子及 Stancu 算子相比，该算子在 $[\frac{1}{2}, \infty)$ 上实现了更优的误差估计。
• 对于 $f \in C_B[0,\infty)$，收敛速度被如下界控制：$\omega_2\left(f; \sqrt{\frac{(\frac{2n}{n+\beta}-2)x + \frac{2\alpha}{n+\beta} + \delta_{n,x}^*}{4}}\right)$，其中 $\delta_{n,x}^*$ 被显式定义。
• 建立了定量估计：$\|K_n^*(f) - f\| \leq 2M\left\{ \omega_2(f; \sqrt{\cdot}) + \min(1, \cdot) \|f\| \right\}$，其中 $M$ 为正常数。
• Peetre 的 $K$-泛函满足 $K_2(f,\delta) \leq C \omega_2(f, \delta^{1/2})$，使得二阶连续模可用于收敛性分析。
• 当 $\mu = 0$ 时，算子退化为 Duman（2014）提出的修正 Szász-Mirakjan-Kantorovich 算子；当 $\alpha = \beta = 0$ 时，退化为这些算子的 Dunkl 拓广。