[论文解读] Modified Tikhonov regularization for identifying several sources

Ole Løseth Elvetun, Bjørn Fredrik Nielsen|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种改进的Tikhonov正则化框架，用于从椭圆PDE中的Dirichlet边界数据识别多个局部源，采用一种与问题相关的正则化算子W，以增强源的可区分性。该方法通过一个三阶段算法，实现了单个源的精确恢复，并改善了多个源的定位，理论与数值证据表明，可识别性在很大程度上取决于区域几何形状以及源相对于边界的位置。

ABSTRACT

We study whether a modified version of Tikhonov regularization can be used to identify several local sources from Dirichlet boundary data for a prototypical elliptic PDE. This paper extends the results presented in [5]. It turns out that the possibility of distinguishing between two, or more, sources depends on the smoothing properties of a second or fourth order PDE. Consequently, the geometry of the involved domain, as well as the position of the sources relative to the boundary of this domain, determines the identifiability. We also present a uniqueness result for the identification of a single local source. This result is derived in terms of an abstract operator framework and is therefore not only applicable to the model problem studied in this paper. Our schemes yield quadratic optimization problems and can thus be solved with standard software tools. In addition to a theoretical investigation, this paper also contains several numerical experiments.

研究动机与目标

• 将先前关于单源识别的研究结果扩展到椭圆PDE反问题中多个局部源的情形。
• 建立理论条件，以确定在何种情况下可通过边界测量区分多个源，特别是基于PDE的阶数和区域几何形状。
• 开发一种数值算法，通过将Tikhonov正则化与半径优化的后处理相结合，以改善源的定位。
• 在适用于特定PDE模型之外的抽象算子框架中，证明单源识别的唯一性结果。
• 通过数值实验表明，源恢复性能在很大程度上取决于区域形状以及源相对于边界的相对位置。

提出的方法

• 将改进的Tikhonov正则化方法表述为一个二次优化问题：在L²(∂Ω)中最小化数据不匹配项，并加入涉及源f上线性算子W的正则化项。
• 正则化算子W被定义为：对每个基函数ϕi，有Wϕi = ||Pϕi||X ϕi，其中P为到前向算子伴随算子值域的正交投影。
• 使用L²(Ω)中的有限维子空间Fh来表示源，其基函数具有局部支撑，以增强空间分辨率。
• 提出一个三阶段算法：第一，求解改进的Tikhonov问题以获得初始估计；第二，定位解的局部极大值；第三，通过在这些极大值点为中心的圆形源上优化半径来细化源的几何形状。
• 对于ε=0（Poisson方程）的情形，通过减去源的均值来修改源，以满足相容性条件∫Ω f dx = 0，从而确保前向问题的适定性。
• 前向算子K_h将源f映射到解u在∂Ω上的Dirichlet迹，且解被归一化为在边界上均值为零，以处理常数解引起的非唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Dirichlet边界数据，所提出的改进Tikhonov正则化方案能否区分多个局部源？
• RQ2 PDE的阶数（二阶与四阶）如何影响多个源的可识别性？
• RQ3 区域的几何形状以及源相对于边界的相对位置在多大程度上影响源恢复性能？
• RQ4 与标准Tikhonov正则化相比，所提出的三阶段算法能否显著改善源定位？
• RQ5 在何种条件下，最小范数最小二乘解等价于反源问题中的真实源？

主要发现

• 通过所提出的W算子改进的Tikhonov正则化方法，可在抽象算子框架下精确恢复单个局部源，已得到证明。
• 区分多个源的能力在很大程度上取决于PDE的平滑性质，四阶问题相比二阶问题具有更好的源分辨率。
• 数值实验表明，非凸区域在源位于角落或边缘附近时，其源恢复性能优于相似尺寸的凸区域。
• 三阶段算法——初始Tikhonov求解、极大值定位以及半径优化——显著改善了源重建，尤其对小或弱源效果明显。
• 对于Poisson方程（ε=0）的情形，源在减去其均值后方法依然有效，且最小范数解自动满足∫Ω f dx = 0。
• Method I与半径优化方法之间的一致性定位是可靠性的重要指标，表明应首先使用Method I进行初始源定位。