[论文解读] Modified vertex Folkman numbers

Aleksandar Bikov, Nedyalko Nenov|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文通过基于穷举搜索和图生成算法的计算方法，确定了所有 $ m \geq 8 $ 时修改后的顶点 Folkman 数 $ F(m\big|_6;m-1) = m+10 $ 的精确值。作者证明了不存在阶为 $ m+10 $ 且团数小于 $ m-1 $ 的图满足 Folkman 条件，从而解决了修改后顶点 Folkman 数框架中 $ p=6 $ 的情形。

ABSTRACT

Let $a_1, ..., a_s$ be positive integers. For a graph $G$ the expression $$ G \overset{v}{ ightarrow} (a_1, ..., a_s) $$ means that for every coloring of the vertices of $G$ in $s$ colors ($s$-coloring) there exists $i \in \{1, ..., s\}$, such that there is a monochromatic $a_i$-clique of color $i$. If $m$ and $p$ are positive integers, then $$ G \overset{v}{ ightarrow} {m}\big\vert_{p} $$ means that for arbitrary positive integers $a_1, ..., a_s$ ($s$ is not fixed), such that $\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$ an $\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$ we have $G \overset{v}{ ightarrow} (a_1, ..., a_s)$. Let $$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{ ightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$ The modified vertex Folkman numbers are defined by the equality $$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q)\}}. $$ If $q \geq m$ these numbers are known and they are easy to compute. In the case $q = m - 1$ we know all of the numbers when $p \leq 5$. In this work we consider the next unknown case $p = 6$ and we prove with the help of a computer that $$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{6}; m - 1) = m + 10. $$

研究动机与目标

• 确定修改后顶点 Folkman 数 $ F(m\big|_6;m-1) $ 在 $ m \geq 8 $ 时的精确值，扩展已知的 $ p \leq 5 $ 的结果。
• 解决修改后顶点 Folkman 数框架中此前未知的 $ p=6 $ 情形，该情形涉及在任意 $ s $-染色下强制出现单色团且团大小有界的图的阶数边界。
• 证明不存在阶为 $ m+10 $ 且团数小于 $ m-1 $ 的图满足 Folkman 条件，从而证明该边界的最小性。

提出的方法

• 作者将修改后顶点 Folkman 数 $ F(m\big|_p;q) $ 定义为满足 $ G \overset{v}{\rightarrow} m\big|_p $ 且 $ \omega(G) < q $ 的图 $ G $ 的最小阶数，其中 $ m = \sum (a_i - 1) + 1 $ 且 $ \max a_i \leq p $。
• 他们使用两种专用算法：算法 3.2 用于生成独立数大于 2 的极大图，算法 3.4 用于生成独立数恰好为 2 的图，两者均从基础完全图出发，通过添加独立顶点构建。
• 通过嵌套集合 $ \widetilde{\mathcal{H}}(m\big|_6;m-1;m+9) $ 递归进行搜索，验证了在 $ m = 9, 10, 11 $ 时这些集合中不存在极大图。
• 证明依赖于验证在 $ m = 9, 10, 11 $ 时 $ \widetilde{\mathcal{H}}(m\big|_6;m-1;m+9) $ 中不存在此类图，从而推出 $ \widetilde{F}(m\big|_6;m-1) > m+9 $，因此证明 $ \widetilde{F}(m\big|_6;m-1) = m+10 $。
• 计算通过检查所有相关集合中极大图的不存在性来验证，结合独立数约束与图扩展技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ m \geq 8 $，修改后顶点 Folkman 数 $ \widetilde{F}(m\big|_6;m-1) $ 的精确值是什么？
• RQ2 是否存在阶为 $ m+10 $ 的图满足 $ G \overset{v}{\rightarrow} m\big|_6 $ 且团数小于 $ m-1 $？
• RQ3 能否通过递归图生成与独立数约束，计算验证 $ m = 9, 10, 11 $ 时此类图的不存在性？

主要发现

• 对于所有 $ m \geq 8 $，修改后顶点 Folkman 数 $ \widetilde{F}(m\big|_6;m-1) $ 恰好为 $ m+10 $，解决了 $ p=6 $ 的情形。
• 在集合 $ \widetilde{\mathcal{H}}(8\big|_6;7;17) $ 中不存在极大图，确认了 $ \widetilde{F}(8\big|_6;7) = 18 $。
• 在 $ m = 9, 10, 11 $ 时，$ \widetilde{\mathcal{H}}(m\big|_6;m-1;m+9) $ 中极大图的不存在性，意味着 $ \widetilde{F}(m\big|_6;m-1) > m+9 $，从而证明其精确值为 $ m+10 $。
• 该证明通过两种算法计算验证：一种用于独立数大于 2 的图，另一种用于独立数恰好为 2 的图，两者均通过嵌套图集递归应用。
• 该结果扩展了先前知识（仅知 $ p \leq 5 $ 的情形），并为修改后顶点 Folkman 数序列中下一个开放情形建立了新的精确值。