[论文解读] Modular Bootstrap Revisited

Scott Collier, Ying-Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用 22

一句话总结

本文重新探討了二维共形場理論（2D CFTs）中的模 bootstrap 方法，利用同時包含 τ 和 τ̄ 的導數的改良線性泛函，推導出更緊緻的算符維度界限。結果顯示，在大中心電荷 c 時，最佳間隔界限 Δ_mod(c) 的漸近斜率介於 1/12 到 1/9 之間，相較於僅使用 τ- 導數的先前方法，其約束更為緊緻，且確認了守恆流對標量 primary 間隔的影響在數值精度下可忽略不計。

ABSTRACT

We constrain the spectrum of two-dimensional unitary, compact conformal field theories with central charge c > 1 using modular bootstrap. Upper bounds on the gap in the dimension of primary operators of any spin, as well as in the dimension of scalar primaries, are computed numerically as functions of the central charge using semi-definite programming. Our bounds refine those of Hellerman and Friedan-Keller, and are in some cases saturated by known CFTs. In particular, we show that unitary CFTs with c < 8 must admit relevant deformations, and that a nontrivial bound on the gap of scalar primaries exists for c < 25. We also study bounds on the dimension gap in the presence of twist gaps, bounds on the degeneracy of operators, and demonstrate how "extremal spectra" which maximize the degeneracy at the gap can be determined numerically.

研究动机与目标

• 為填補對 c > 1 且無守恆流的 2D CFT 理解上的空白，這些理論被認為描述了 AdS3 中的全息量子重力，但標準 CFT 方法難以處理。
• 透過在模交叉方程上使用作用於 τ 和 τ̄ 的導數的線性泛函，進一步完善模 bootstrap 方法，以完整體現模不變性。
• 透過對在 τ 和 τ̄ 上均含導數的線性泛函進行優化，推導出 primary 算符譜中間隔的更緊緻界限，特別是標量 primary。
• 研究守恆流的存在是否會影響所推導出的界限，特別是對標量 primary 間隔的影響。
• 探討整數簡併度約束的作用，以及在高虧格設定下結合模 bootstrap 和 OPE-based bootstrap 方法的潛力。

提出的方法

• 使用虧格一的模交叉方程表示的環面分割函數，以維拉索羅特徵的和表示，其中非負的簡併係數為 d(h, h̄)。
• 對模交叉方程 E_{h,h̄}(τ, τ̄) = 0 應用線性泛函 α，其中 α 由 τ 和 τ̄ 的導數構成，總階數最高為 N。
• 透過檢查對譜中所有 (h, h̄) 有 α[E_{0,0}] 和 α[E_{h,h̄}] 同號，來強制 d(h, h̄) 的非負性，從而排除假想譜。
• 使用半正定規劃（SDPB）數值優化泛函，並提取 primary 算符維度間隔的上界。
• 比較僅使用 τ- 導數的泛函（Δ_HFK^{(N)}(c)）與同時使用 τ 和 τ̄ 導數的泛函（Δ_mod^{(N)}(c)）所得的界限，並外推至 N→∞。
• 透過構造使界限達極值的譜，分析極值譜，利用最佳泛函的零點預測簡併度與 primary 內容。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大中心電荷 c 時，2D CFT 中最佳模 bootstrap 界限 Δ_mod(c) 對 primary 算符間隔的漸近行為為何？
• RQ2 在線性泛函中同時包含 τ 和 τ̄ 導數，與僅使用 τ- 導數的泛函相比，如何改善界限？
• RQ3 守恆流 primary 對標量 primary 間隔上界有多大影響？
• RQ4 由最佳泛函預測的極值譜是否可實現為具有整數簡併度的一致 CFT 分割函數？
• RQ5 整數簡併度約束在精煉間隔界限中的角色為何？其在大 c 時的影響有多顯著？

主要发现

• 對於無守恆流的 2D CFT，最佳間隔界限 Δ_mod(c) 在 c→∞ 時的漸近斜率 b_mod 介於 1/12 到 1/9 之間，優於先前的界限。
• 最佳界限 Δ_mod(c) 的斜率隨 c 單調遞減，並漸近收斂至 b_mod ≤ b_HFK，其中 b_HFK 是僅使用 τ- 導數泛函所對應的斜率。
• 當 c < 8 時，標量 primary 間隔的界限 Δ_mod^{s=0}(c) 小於 2，顯示輕量標量態受到顯著抑制。
• 極值分割函數 Z_ext,s=0(8,2) = (j(τ)j̄(τ))^{1/3} 在 c=8 時達到了界限，並預測其譜的簡併度與最佳泛函的零點相符。
• 數值證據顯示，gap 界限的 N→∞ 和 c→∞ 極限不可交換，顯示最佳泛函具有非平凡結構。
• 在 c ≤ 8 時，允許守恆流的存在對標量間隔界限 Δ_mod^{s=0}(c) 的影響在數值精度下可忽略，僅在 c > 8 時導致略弱的界限。