[论文解读] Modular categories and orbifold models II

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Oct 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

该论文通过证明固定点顶点算子代数 $\mathcal{V}^G$ 上模的范畴可从 twisted $\mathcal{V}$-模的范畴及其上的群作用重构，从而扩展了共形场论中轨道模型的分类。关键结果是：当该范畴为模范畴时，轨道范畴与 twisted Drinfeld 双重 $D^\omega(G)$ 的表示范畴等价，推广了早期在全纯情形下的结果。

ABSTRACT

This is a continuation of the paper "Modular tensor categories and orbifold theories", arXiv:math.QA/0104242. It discusses orbifold models of conformal filed theory, or, in mathematical language, question of constructing the category of representations of the fixed point algebra $V^G$ for a given vertex operator algebra $V$ with an action of a finite group $G$. The previous paper gave a proof of well-known conjecture of Dijkgraaf-Vafa-Verlinde-Verlinde giving a complete answer to this question in the holomorphic case (when $V$ has a unique simple module, $V$ itself) under the assumption that categories of rrepresentations of $V$, $V^G$ are modular tensor categories. In the current paper, we give a partial answer in non-holomorphic case. In particular, we show that the category of representations of $V^G$ is completely determined by the category of twisted $V$-modules together with the action of $G$ on this category. Our approach is based on describing representations of $V$, $V^G$ and relation between them in terms of tensor categories and avoids using the technique of VOAs as much as possible.

研究动机与目标

• 将有理共形场论中轨道模型的分类推广至全纯情形之外。
• 从 twisted $\mathcal{V}$-模的范畴及群 $G$ 在其上的作用重构固定点代数 $\mathcal{V}^G$ 上模的范畴 $\mathcal{C}$。
• 建立轨道范畴为模范畴的条件，并阐明其与 twisted 模范畴及群作用数据的关系。

提出的方法

• 以有 braided tensor 范畴的语言重新表述轨道问题，以范畴结构替代顶点算子代数。
• 定义 $A$-模的 $G$-等变范畴 $({\rm Rep}A)^G$，其中 $A$ 为模范畴中的交换代数。
• 通过扭函子 $\Pi_g(X) = X^{g^{-1}}$ 定义群 $G$ 在 $\rm Rep A$ 上的作用，该作用在 $A$-模范畴上定义了群作用。
• 将轨道范畴 $\mathcal{C}$ 构造为范畴 $({\rm Rep}A)^G$，并证明其继承了 braided tensor 结构。
• 证明 $\mathcal{C}$ 的 $s$-矩阵非奇异当且仅当对所有 $g \in G$ 有 $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$，从而确保模性。
• 利用 $\operatorname{Rep}_g A$ 的非零性排除 $s$-矩阵的奇异，从而在该条件下确认模性。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定点代数 $\mathcal{V}^G$ 上模的范畴能否从 twisted $\mathcal{V}$-模的范畴及其上的群作用重构？
• RQ2 在非全纯情形下，完全确定轨道范畴 $\mathcal{C}$ 所需的附加数据是什么？
• RQ3 在何种条件下轨道范畴 $\mathcal{C}$ 为模范畴，其与 twisted 模支持的关系如何？
• RQ4 在非全纯情形下，轨道范畴是否与 twisted Drinfeld 双重 $D^\omega(G)$ 的表示范畴等价？
• RQ5 范畴 $\mathcal{C}$ 能否从 $\mathcal{C}_1$（由与 $\rm Rep^0 A$ 非零配对的模生成的子范畴）重构？

主要发现

• 当 $\mathcal{C}$ 为模范畴且 $\mathcal{V}$-模范畴为全纯时，轨道范畴 $\mathcal{C}$ 与 twisted Drinfeld 双重 $D^\omega(G)$ 的表示范畴等价。
• 若 $\mathcal{C}$ 为模范畴，则 $\mathcal{C}$ 完全由 $\rm Rep A$ 及其上的 $G$-作用确定。
• $\mathcal{C}$ 的 $s$-矩阵非奇异当且仅当对所有 $g \in G$ 有 $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$，此条件确保模性。
• $H = \{g \in G \mid \operatorname{Rep}_g A \neq 0\}$ 是 $G$ 的正规子群；若 $H \neq G$，则 $s$-矩阵变为奇异，与模性矛盾。
• 一般情况下无法从 $\mathcal{C}_1$ 重构 $\mathcal{C}$，如在 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 于单位根处的情形所示，此时 $\mathcal{C}_1$ 对应于偶权重模。
• $\mathcal{C}$ 从 $\mathcal{C}_1$ 重构的问题在对偶意义下显著困难，尤其当 $\mathcal{C}_1$ 非 Tannakian 时，其难度远超标准群扩张问题。