[论文解读] Modular flavor symmetric models

Tatsuo Kobayashi, Morimitsu Tanimoto|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2023

Particle physics theoretical and experimental studiesPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文提出基于有限模群（如 A₄、S₄）的模块化 flavor 对称模型，以解释标准模型中的费米子质量与混合角。通过利用模形式及其在离散对称性下的变换性质，该模型在 τ=ω 等固定点处实现真实的纹理结构，成功再现中微子混合模式与 CP 破坏，且通过模量稳定化实现。该框架还可扩展至 SMEFT，引入高阶微扰算符，为弦理论中的味结构与新物理提供统一描述。

ABSTRACT

We review the modular flavor symmetric models of quarks and leptons focusing on our works. We present some flavor models of quarks and leptons by using finite modular groups and discuss the phenomenological implications. The modular flavor symmetry gives interesting phenomena at the fixed point of modulus. As a representative, we show the successful texture structure at the fixed point $τ= ω$. We also study CP violation, which occurs through the modulus stabilization. Finally, we study SMEFT with modular flavor symmetry by including higher dimensional operators.

研究动机与目标

• 利用 A₄、S₄ 和 A₅ 等有限模群构建夸克与轻子的味模型。
• 通过 4D 有效场论中的模对称性，解释费米子质量层级与混合角的起源。
• 研究模对称紧凑化中模量稳定化所引发的 CP 破坏。
• 通过模对称性约束高阶微扰算符，将该框架扩展至 SMEFT。
• 通过将模对称性识别为卡拉比-丘紧凑化中的几何对称性，建立与弦理论的联系。

提出的方法

• 利用有限模群 Γₙ ≅ A₄、S₄、A₅ 等的模形式，其在模群 SL(2,Z) 下变换，且为模量 τ 的函数。
• 通过特定权重（如权重 2、4、6、8、10）的 A₄ 表示下的模形式，构建夸克与轻子的质量矩阵。
• 对权重为 2 的形式施加约束 Y₂² + 2Y₁Y₃ = 0，以确保与群论及模不变性的相容性。
• 在 τ = ω（其中 ω = e^{2πi/3}）等固定点处评估模形式，此时对称性增强，纹理零点自然出现。
• 通过模量 τ 的稳定化分析 CP 破坏，其中复结构模量打破 CP 自发对称性。
• 通过模对称性约束高阶微扰算符在 SMEFT 中的允许耦合，其来源于弦论中的三线性函数。

Figure 1: Lattice $\Lambda$ and two basis vectors, $e_{1}$ and $e_{2}$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 A₄ 等有限模群的模对称性，如何解释观测到的费米子质量层级与混合角？
• RQ2 固定点 τ = ω 在生成具有纹理零点的现实味结构中起什么作用？
• RQ3 模味模型中的 CP 破坏如何产生？能否与弦紧凑化中的模量稳定化相联系？
• RQ4 SMEFT 中的高阶微扰算符如何变换于模对称性下？它们对新物理的约束是什么？
• RQ5 模味对称性能否提供一个统一框架，连接低能味现象学与弦理论紧凑化？

主要发现

• 在固定点 τ = ω 处，A₄ 的模形式产生一种纹理结构，能以高精度再现中微子混合中的三最大混合模式。
• A₄ 的权重为 2 的模形式 Y₁、Y₂、Y₃ 满足约束 Y₂² + 2Y₁Y₃ = 0，该约束对群结构相容性至关重要，并导出可预测的质量矩阵。
• A₄ 模形式的 q-展开显示特定系数：Y₁ = 1 + 12q + 36q² + …，Y₂ = -6q^{1/3}(1 + 7q + …)，Y₃ = -18q^{2/3}(1 + 2q + …)，其中 q = exp(2πiτ)，证实了模不变性。
• 在 τ = ω 处，模形式取特定值，导致对称且可预测的质量矩阵结构，从而成功预测中微子混合角。
• CP 破坏通过模量 τ 的复稳定化产生，其中真空期望值打破 CP 对称性，即使基础理论本身 CP 守恒。
• SMEFT 扩展表明，模对称性控制高阶微扰算符，减少允许项的数量，并为味改变过程提供自然抑制机制。

Figure 2: Basis change with $(a,b,c,d)=(1,1,0,1)$ corresponds to $T$ .